Calcule as expressões abaixo, simplificando o resultado. Sempre que necessário, suponha que os termos no interior das raízes são não negativos e que os denominadores são diferentes de zero.
\frac{2(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}{5\left(x^{2}-3\right)}

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dá a expressão \dfrac{2(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}{5\left(x^{2}-3\right)}.
  • Pede para calcular e simplificar essa expressão.
  • Observação fornecida: suponha que denominadores são diferentes de zero (logo devemos excluir valores que anulam o denominador).

Passo 2

Identificar uma identidade algébrica útil: a diferença de quadrados.
  • A identidade é (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}.
  • Aqui a e b são símbolos que representam quaisquer expressões; quando aplicamos essa identidade, substituímos a e b pelas expressões concretas do problema.

Passo 3

Aplicar a identidade ao produto (x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}).
  • Tomando a=x e b=\sqrt{3}, temos
(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=x^{2}-(\sqrt{3})^{2}.
  • Como (\sqrt{3})^{2}=3, obtemos
(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=x^{2}-3.

Passo 4

Substituir essa igualdade na expressão original.
  • A expressão vira
\frac{2(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}{5\left(x^{2}-3\right)}=\frac{2(x^{2}-3)}{5(x^{2}-3)}.

Passo 5

Cancelar o fator comum x^{2}-3, lembrando da condição para cancelar.
  • Regra: se A\neq0, então \dfrac{cA}{dA}=\dfrac{c}{d}.
  • Aqui podemos cancelar x^{2}-3 desde que x^{2}-3\neq0.
  • Cancelando obtemos
\frac{2(x^{2}-3)}{5(x^{2}-3)}=\frac{2}{5}.

Passo 6

Determinar a restrição de domínio (valores proibidos).
  • Para que o cancelamento e a expressão original façam sentido precisamos de x^{2}-3\neq0.
  • Isso ocorre quando x\neq\pm\sqrt{3}.
  • Portanto a simplificação \dfrac{2}{5} vale para todos os x tais que x\neq\pm\sqrt{3}.

Passo 7

Pequeno exemplo didático (pra fixar): simplificar \dfrac{6(x-2)}{3(x-2)}.
  • Pelo mesmo raciocínio, para x\neq2 cancela-se (x-2) e fica \dfrac{6}{3}=2.

Resposta

\dfrac{2}{5},\;x\neq\pm\sqrt{3}

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