Calcule as expressões abaixo e simplifique o resultado quando possível.
\frac{2}{5 x-1}+\frac{3}{7}

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão a somar:
\frac{2}{5x-1}+\frac{3}{7}.
O que se pede: calcular a soma e simplificar o resultado quando possível. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Há duas frações com denominadores 5x-1 e 7.
  • Devemos ter atenção ao domínio: 5x-1\neq0, logo x\neq\frac{1}{5}. O denominador 7 nunca é zero.

Passo 2

Ideia prática (explicação didática): para somar frações precisamos escrevê-las com um mesmo denominador (denominador comum). O denominador comum mais simples é o mínimo múltiplo comum dos denominadores originais. Aqui os denominadores são 5x-1 e 7. Como 7 é um número primo e não é múltiplo do polinômio 5x-1, o mínimo múltiplo comum é
7(5x-1).
Isto significa que vamos reescrever cada fração de maneira equivalente com denominador 7(5x-1).

Passo 3

Transformar cada fração para o denominador comum, multiplicando numerador e denominador pelo fator necessário.
Para a primeira fração \dfrac{2}{5x-1} multiplicamos por \dfrac{7}{7}:
\frac{2}{5x-1}=\frac{2\cdot7}{(5x-1)\cdot7}=\frac{14}{7(5x-1)}.
Para a segunda fração \dfrac{3}{7} multiplicamos por \dfrac{5x-1}{5x-1}:
\frac{3}{7}=\frac{3(5x-1)}{7(5x-1)}=\frac{15x-3}{7(5x-1)}.

Passo 4

Agora que as duas frações têm o mesmo denominador, somamos os numeradores e mantemos o denominador comum:
\frac{14}{7(5x-1)}+\frac{15x-3}{7(5x-1)}=\frac{14+(15x-3)}{7(5x-1)}.
Fazendo a soma no numerador:
14+(15x-3)=15x+11.

Passo 5

Portanto a soma é
\frac{15x+11}{7(5x-1)}.
Verificamos se é possível simplificar cancelando algum fator comum entre numerador e denominador. Se 5x-1 fosse fator do numerador, então substituir x=\frac{1}{5} faria o numerador zero. Substituindo:
15\!\left(\frac{1}{5}\right)+11=3+11=14\neq0,
logo 5x-1 não é fator do numerador e não há cancelamento possível. Também não existe outro fator comum não-constante entre 15x+11 e 7(5x-1). Assim a forma já está simplificada. Observação: pode-se também escrever o denominador expandido como 35x-7, ficando a resposta equivalente \dfrac{15x+11}{35x-7}, mas a forma fatorada \dfrac{15x+11}{7(5x-1)} costuma ser mais clara.

Resposta

\displaystyle \frac{15x+11}{7(5x-1)}

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