Calcule as seguintes integrais indefinidas
c) (1,0 pts) \int \frac{x+3}{x^{2}+2 x-8} d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado. Calcular a integral indefinida
\int \frac{x+3}{x^{2}+2x-8}\,dx.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • O integrando é a função \dfrac{x+3}{x^{2}+2x-8}.
  • Queremos uma primitiva (integral indefinida), portanto o resultado deve conter uma constante de integração C.

Passo 2

Observar a forma do denominador e fatorá-lo para simplificar a integração. Vamos fatorar
x^{2}+2x-8.
Procuramos dois números que multiplicados dão -8 e somados dão 2. Esses números são 4 e -2. Logo
x^{2}+2x-8=(x+4)(x-2).
Explicação didática: fatorar o polinômio facilita a decomposição em frações simples (partial fractions), que é uma técnica padrão para integrar racionais quando o denominador se fatora em fatores lineares.

Passo 3

Como o denominador se fatorou em fatores lineares distintos (x+4) e (x-2), procuramos uma decomposição em frações parciais da forma
\frac{x+3}{(x+4)(x-2)}=\frac{A}{x+4}+\frac{B}{x-2},
onde A e B são constantes a determinar.
Breve justificativa: qualquer razão onde o numerador tem grau menor que o denominador e o denominador é produto de fatores lineares distintos pode ser escrita como soma de termos \dfrac{\text{constante}}{x - \text{raiz}}.

Passo 4

Encontrar A\) e \(B\). Multiplicando ambos os lados por \((x+4)(x-2)\) obtemos a identidade \[x+3 = A(x-2)+B(x+4).
Expandindo o lado direito:
x+3 = (A+B)x +(-2A+4B).
Igualando coeficientes do polinômio em x, temos o sistema linear
\begin{cases} A+B = 1,\\[4pt] -2A+4B = 3. \end{cases}
Resolver passo a passo: da primeira equação (A=1-B]. Substituindo na segunda:
-2(1-B)+4B=3 \quad\Rightarrow\quad -2+2B+4B=3 \quad\Rightarrow\quad 6B=5.
Logo
B=\frac{5}{6}.
E então
A=1-B=1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}.
(Dica rápida alternativa: poderíamos também obter A e B avaliando a identidade em x=2 e x=-4, que anula um termo de cada vez — é um truque útil na prova.)]

Passo 5

Reescrever o integrando usando os valores de A e B:
\frac{x+3}{x^{2}+2x-8}=\frac{1/6}{x+4}+\frac{5/6}{x-2}.
Portanto a integral se separa:
\int \frac{x+3}{x^{2}+2x-8}\,dx =\int \frac{1/6}{x+4}\,dx + \int \frac{5/6}{x-2}\,dx.

Passo 6

Integrar cada termo. Lembrando a fórmula básica (a “aula” rápida): para constante k e constante a,
\int \frac{k}{x+a}\,dx = k\int \frac{1}{x+a}\,dx = k\ln|x+a| + C,
pois \dfrac{d}{dx}\ln|x+a|=\dfrac{1}{x+a}. Aplicando isso:
\int \frac{1/6}{x+4}\,dx = \frac{1}{6}\ln|x+4|, \qquad \int \frac{5/6}{x-2}\,dx = \frac{5}{6}\ln|x-2|.
Somando e incluindo a constante de integração C, obtemos a primitiva completa:
\frac{1}{6}\ln|x+4|+\frac{5}{6}\ln|x-2|+C.

Passo 7

Verificação rápida (mental): diferenciando
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{6}\ln|x+4|+\frac{5}{6}\ln|x-2|\right) =\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{x+4}+\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{x-2} =\frac{x+3}{x^{2}+2x-8},
o que confirma que a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{1}{6}\ln|x+4|+\dfrac{5}{6}\ln|x-2|+C

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