Calcule as seguintes integrais indefinidas
c) (1,0 pts)
c) (1,0 pts)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado. Calcular a integral indefinida
Informações importantes extraídas do enunciado:
- O integrando é a função
. - Queremos uma primitiva (integral indefinida), portanto o resultado deve conter uma constante de integração
.
Passo 2
Observar a forma do denominador e fatorá-lo para simplificar a integração. Vamos fatorar
Procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
. Logo
Explicação didática: fatorar o polinômio facilita a decomposição em frações simples (partial fractions), que é uma técnica padrão para integrar racionais quando o denominador se fatora em fatores lineares.
Passo 3
Como o denominador se fatorou em fatores lineares distintos
e
, procuramos uma decomposição em frações parciais da forma
onde
e
são constantes a determinar.
Breve justificativa: qualquer razão onde o numerador tem grau menor que o denominador e o denominador é produto de fatores lineares distintos pode ser escrita como soma de termos
.
Passo 4
Encontrar
Expandindo o lado direito:
Igualando coeficientes do polinômio em
, temos o sistema linear
Resolver passo a passo: da primeira equação (A=1-B]. Substituindo na segunda:
Logo
E então
Logo
E então
(Dica rápida alternativa: poderíamos também obter
e
avaliando a identidade em
e
, que anula um termo de cada vez — é um truque útil na prova.)]
Passo 5
Reescrever o integrando usando os valores de
e
:
Portanto a integral se separa:
Passo 6
Integrar cada termo. Lembrando a fórmula básica (a “aula” rápida): para constante
e constante
,
pois
. Aplicando isso:
Somando e incluindo a constante de integração
, obtemos a primitiva completa:
Passo 7
Verificação rápida (mental): diferenciando
o que confirma que a primitiva está correta.