Calcule as expressões logarítmicas usando as propriedades de logaritmos:
h)
h)
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a expressão abaixo:
Informações dadas:
- A base da potência é
. - Há um logaritmo na base
, .
O objetivo é simplificar essa expressão usando propriedades de logaritmos e potências para obter um número simples.
Passo 2
Vou revisar as propriedades que vou usar — explicadas de forma bem direta, como se eu estivesse te dando a cola para a prova:
-
Definição básica de logaritmo: para
, , e , Ou seja,é o expoente que faz virar . -
Potência da soma no expoente: para qualquer base positiva
, Isso serve para separar somas no expoente em produtos de potências. -
Multiplicando logaritmo por constante: para qualquer constante
, Explicação: multiplicar o logaritmo porequivale a elevar o argumento à potência dentro do logaritmo. -
Relação inversa entre exponenciação e logaritmo:Ou seja, aplicar
ao “cancela” e retorna .
Exemplo rápido para fixar:
porque
e
. Ou ainda
.
Passo 3
Aplicando a propriedade da soma no expoente para separar a potência:
Aqui usei que
com
e
.
Calculo imediato:
Passo 4
Agora vou simplificar
. Posso usar duas abordagens equivalentes; mostro as duas porque é bom na prova saber alternativas.
Opção A (usar
):
Então
pois
pela relação inversa exponencial/logarítmica.
Opção B (usar que
):
As duas dão o mesmo resultado:
.
Passo 5
Volto ao produto do Passo 3:
Agora calculo: