Calcule as expressões logarítmicas usando as propriedades de logaritmos:
h) 2^{2+2 \log _{2} 5}=

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a expressão abaixo:
2^{2+2\log_{2}5}.
Informações dadas:
  • A base da potência é 2.
  • Há um logaritmo na base 2, \log_{2}5.
    O objetivo é simplificar essa expressão usando propriedades de logaritmos e potências para obter um número simples.

Passo 2

Vou revisar as propriedades que vou usar — explicadas de forma bem direta, como se eu estivesse te dando a cola para a prova:
  • Definição básica de logaritmo: para a>0, a\neq1, e x>0,
    \log_{a} x = y \quad\Longleftrightarrow\quad a^{y}=x.
    Ou seja, \log_{a} x é o expoente que faz a virar x.
  • Potência da soma no expoente: para qualquer base positiva a,
    a^{u+v}=a^{u}\cdot a^{v}.
    Isso serve para separar somas no expoente em produtos de potências.
  • Multiplicando logaritmo por constante: para qualquer constante k,
    k\log_{a} b=\log_{a}(b^{k}).
    Explicação: multiplicar o logaritmo por k equivale a elevar o argumento b à potência k dentro do logaritmo.
  • Relação inversa entre exponenciação e logaritmo:
    a^{\log_{a} x}=x.
    Ou seja, aplicar a^{(\cdot)} ao \log_{a} x “cancela” e retorna x.
Exemplo rápido para fixar: \;2^{\log_{2}8}=8 porque \log_{2}8=3 e 2^{3}=8. Ou ainda (2^{\log_{2}8})^{2}=8^{2}=64.

Passo 3

Aplicando a propriedade da soma no expoente para separar a potência:
2^{2+2\log_{2}5}=2^{2}\cdot 2^{2\log_{2}5}.
Aqui usei que 2^{u+v}=2^{u}\cdot 2^{v} com u=2 e v=2\log_{2}5.
Calculo imediato:
2^{2}=4.

Passo 4

Agora vou simplificar 2^{2\log_{2}5}. Posso usar duas abordagens equivalentes; mostro as duas porque é bom na prova saber alternativas.
Opção A (usar k\log_a b=\log_a b^k):
2\log_{2}5=\log_{2}\big(5^{2}\big)=\log_{2}25.
Então
2^{2\log_{2}5}=2^{\log_{2}25}=25,
pois 2^{\log_{2}25}=25 pela relação inversa exponencial/logarítmica.
Opção B (usar que a^{k\log_a b}=(a^{\log_a b})^{k} = b^{k}):
2^{2\log_{2}5}=\big(2^{\log_{2}5}\big)^{2}=5^{2}=25.
As duas dão o mesmo resultado: 25.

Passo 5

Volto ao produto do Passo 3:
2^{2+2\log_{2}5}=2^{2}\cdot 2^{2\log_{2}5}=4\cdot 25.
Agora calculo:
4\cdot 25=100.

Resposta

100

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