Determine o valor de \boldsymbol{x} :
c) \log _{2} x=5

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor de x que satisfaz a equação
\log_{2} x = 5.
Informações dadas e o que se pede:
  • A equação é \log_{2} x = 5.
  • A incógnita é x.
  • Sabemos que, para logaritmos, o argumento x precisa ser positivo, ou seja x>0.
  • A tarefa é encontrar o número positivo x que torna verdadeira a equação.

Passo 2

Entendendo o que significa \log_{2} x = 5: a definição de logaritmo diz que
\log_{a} b = c \quad\Longleftrightarrow\quad a^{c} = b,
onde:
  • a é a base do logaritmo (aqui a=2), com a>0 e a\neq1;
  • b é o argumento do logaritmo (aqui b=x), com b>0;
  • c é o valor do logaritmo (aqui c=5).
Essa equivalência é a ferramenta principal para resolver equações do tipo \log_{a}(\cdot)= constante.

Passo 3

Agora aplico a equivalência à nossa equação \log_{2} x = 5. Pela definição,
\log_{2} x = 5 \quad\Longleftrightarrow\quad 2^{5} = x.
Logo a solução é x = 2^{5}.

Passo 4

Calculo explícito de 2^{5}. Posso fazer passo a passo:
2^{2}=4,\qquad 2^{3}=8,\qquad 2^{4}=16,\qquad 2^{5}=32.
Portanto x = 32.

Passo 5

Verificação rápida (para ter certeza): usando a propriedade \log_{a} a^{k}=k,
\log_{2} 32 = \log_{2} 2^{5} = 5,
então x=32 realmente satisfaz a equação. Lembre-se: só aceitamos x>0, e 32>0 está ok.

Resposta

x=32

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