Calcule as expressões logarítmicas usando as propriedades de logaritmos:
e)
e)
Passo 1
O enunciado pede calcular o valor numérico da expressão
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- a base do logaritmo é
; - o argumento do logaritmo é
.
Passo 2
Lembrete do que é logaritmo: por definição,
é o número
tal que
Aqui
é a base do logaritmo e
é o argumento. Ou seja, o logaritmo responde “qual expoente devo dar à base
para obter
?”
Passo 3
Propriedade útil (identidade básica): para qualquer base
,
, e qualquer expoente
,
Isto decorre diretamente da definição: se
então
. Em particular,
porque
.
Passo 4
Outra propriedade (regra do expoente dentro do logaritmo): para quaisquer
,
, e número real
,
É uma consequência da definição e das propriedades das potências. Aqui vamos aplicar essa propriedade com
,
e
.
Passo 5
Aplicando a propriedade ao nosso caso:
Como explicado,
porque
. Portanto
Passo 6
Cheque rápido (intuitivo):
. O logaritmo
pergunta qual expoente aplicado em
dá
; esse expoente é
, confirmando o resultado.