Calcule as expressões logarítmicas usando as propriedades de logaritmos:
e) \log _{2} 2^{-3}=

Passo 1

O enunciado pede calcular o valor numérico da expressão \log_{2} 2^{-3}.
Informações dadas:
  • a base do logaritmo é 2;
  • o argumento do logaritmo é 2^{-3}.

Passo 2

Lembrete do que é logaritmo: por definição, \log_{b} a é o número y tal que
b^{y}=a.
Aqui b é a base do logaritmo e a é o argumento. Ou seja, o logaritmo responde “qual expoente devo dar à base b para obter a?”

Passo 3

Propriedade útil (identidade básica): para qualquer base b>0, b\neq0, e qualquer expoente x,
\log_{b}\bigl(b^{x}\bigr)=x.
Isto decorre diretamente da definição: se a=b^{x} então \log_{b} a=x. Em particular, \log_{b} b=1 porque b^{1}=b.

Passo 4

Outra propriedade (regra do expoente dentro do logaritmo): para quaisquer a>0, b>0, e número real c,
\log_{b}\bigl(a^{c}\bigr)=c\cdot\log_{b} a.
É uma consequência da definição e das propriedades das potências. Aqui vamos aplicar essa propriedade com a=2, c=-3 e b=2.

Passo 5

Aplicando a propriedade ao nosso caso:
\log_{2} 2^{-3} = (-3)\cdot \log_{2} 2.
Como explicado, \log_{2} 2=1 porque 2^{1}=2. Portanto
\log_{2} 2^{-3} = (-3)\cdot 1 = -3.

Passo 6

Cheque rápido (intuitivo): 2^{-3}= \dfrac{1}{8}. O logaritmo \log_{2} pergunta qual expoente aplicado em 2 \dfrac{1}{8}; esse expoente é -3, confirmando o resultado.

Resposta

-3

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