Usando um resistor para medir a temperatura, o operador verificou que a resistência do resistor a 100^{\circ} \mathrm{C} era de 100 Ohms . À temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C}, a resistência era de 150 Ohms . Qual a resistência quando a temperatura for de 50^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O enunciado dá duas medições de resistência em duas temperaturas e pede a resistência a uma terceira temperatura. Dados fornecidos:
  • A resistência a \,100^\circ\mathrm{C}\, é \,100\\ \Omega.
  • A resistência a \,20^\circ\mathrm{C}\, é \,150\\ \Omega.
    O que se pede:
  • Encontrar a resistência quando a temperatura for \,50^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Modelo físico/matemático simples que usamos (explicação didática):
  • Para muitos sensores resistivos, a resistência varia aproximadamente de forma linear com a temperatura num intervalo moderado. Isso significa que podemos escrever a resistência como uma função linear da temperatura:
R(T)=aT+b,
onde:
  • \,R(T)\, é a resistência (em \Omega) à temperatura \,T (em ^\circ\mathrm{C}),
  • \,a\, é a inclinação (variação de resistência por grau: \Omega/^\circ\mathrm{C}),
  • \,b\, é a ordenada na origem (valor da resistência quando \,T=0^\circ\mathrm{C}).
  • Outra forma equivalente, comum em física, é usar o coeficiente de temperatura \alpha com a fórmula
R(T)=R_{T_0}\bigl[1+\alpha (T-T_0)\bigr],
mas operar com a forma linear R(T)=aT+b é direto e suficiente quando temos duas medições.

Passo 3

Usar os dois pontos dados para determinar a e b.
  • Das medições temos as igualdades (pegadas diretamente do enunciado):
R(100)=100 \quad\Rightarrow\quad 100 = a\cdot 100 + b,
R(20)=150 \quad\Rightarrow\quad 150 = a\cdot 20 + b.
  • Subtraindo a segunda equação da primeira para eliminar b:
100-150 = (100a+b) - (20a+b) \quad\Rightarrow\quad -50 = 80a.
  • Isolando a:
a = \dfrac{-50}{80} = -\dfrac{5}{8} = -0{,}625\\ \Omega/^\circ\mathrm{C}.
  • Agora encontramos b substituindo a numa das equações (uso a de T=100^\circ\mathrm{C}):
100 = 100\cdot\bigl(-0{,}625\bigr) + b \quad\Rightarrow\quad 100 = -62{,}5 + b,
b = 100 + 62{,}5 = 162{,}5\\ \Omega.
  • Portanto a função linear que ajusta os dois pontos é
R(T) = -0{,}625\,T + 162{,}5.

Passo 4

Calcular \,R(50) substituindo \,T=50^\circ\mathrm{C} na expressão obtida:
R(50) = -0{,}625\cdot 50 + 162{,}5 = -31{,}25 + 162{,}5 = 131{,}25\\ \Omega.
Explicação rápida de verificação mental: como entre 20^\circ\mathrm{C} e 100^\circ\mathrm{C} a resistência vai de 150\\ \Omega para 100\\ \Omega (queda de 50\\ \Omega em 80^\circ\mathrm{C}), a queda por grau é -50/80=-5/8\\ \Omega/^\circ\mathrm{C}. Entre 20^\circ\mathrm{C} e 50^\circ\mathrm{C} 30^\circ\mathrm{C}, então a resistência cai 30\cdot(5/8)=150/8=18{,}75\\ \Omega a partir de 150\\ \Omega, resultando em 150-18{,}75=131{,}25\\ \Omega, mesmo resultado.

Passo 5

(Mini-aula extra — equivalente com coeficiente de temperatura \alpha, só para fixar o conceito)
  • Tomando \,T_0=20^\circ\mathrm{C} e \,R_{T_0}=150\\ \Omega, usar
R(T)=R_{T_0}\bigl[1+\alpha (T-T_0)\bigr].
  • Usando o ponto (100^\circ\mathrm{C},100\\ \Omega):
100 = 150\bigl[1+\alpha(100-20)\bigr] = 150\bigl[1+80\alpha\bigr].
\Rightarrow \frac{100}{150}-1 = 80\alpha \quad\Rightarrow\quad -\tfrac{1}{3} = 80\alpha,
\alpha = -\dfrac{1}{240} = -0{,}004166\ldots\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Logo
R(50)=150\bigl[1+\alpha\cdot 30\bigr]=150\bigl[1- \tfrac{30}{240}\bigr]=150\bigl[1-\tfrac{1}{8}\bigr]=150\cdot\tfrac{7}{8}=131{,}25\\ \Omega.
Isso confirma o resultado anterior e dá uma interpretação física do sinal negativo de \alpha (resistência diminui com temperatura).

Resposta

131{,}25\\ \Omega

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