Calcule as expressões e represente o resultado na forma de raiz, sem transformar em potências:
e) \frac{x \sqrt[n]{x}}{\sqrt[4]{x}}=

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dá a expressão \dfrac{x \sqrt[n]{x}}{\sqrt[4]{x}}.
  • Pede calcular essa expressão e apresentar o resultado na forma de raiz (ou seja, usando radicais), sem transformar o resultado final em potências x^{\alpha}.
  • Observação importante sobre domínio: para que as raízes principais estejam bem definidas no conjunto dos números reais, assumimos \,x\ge 0\,.

Passo 2

Recordando propriedades básicas de radicais (explicação passo a passo e intuitiva):
  • Se duas raízes têm o mesmo índice, pode-se multiplicá‑las juntando os radicandos dentro de uma única raiz: \sqrt[m]{A}\cdot\sqrt[m]{B}=\sqrt[m]{A\cdot B}. Aqui A e B são os números (ou expressões) dentro das raízes, e m é o índice comum.
  • De modo análogo, \dfrac{\sqrt[m]{A}}{\sqrt[m]{B}}=\sqrt[m]{\dfrac{A}{B}}.
  • Se duas raízes têm índices diferentes, é conveniente escrever ambas com um mesmo índice comum (um múltiplo dos índices originais). Para isso, se q é múltiplo de p, então \sqrt[p]{A}=\sqrt[q]{A^{q/p}}. Isso transforma a raiz de índice p em uma raiz de índice q, preservando o valor.
    Exemplo pequeno e concreto para fixar: \sqrt{a}\cdot\sqrt[3]{a}. Um índice comum é 6. Reescreve-se \sqrt{a}=\sqrt[6]{a^{3}} e \sqrt[3]{a}=\sqrt[6]{a^{2}}, então o produto é \sqrt[6]{a^{3}}\cdot\sqrt[6]{a^{2}}=\sqrt[6]{a^{5}}.

Passo 3

Aplicando a ideia do índice comum ao nosso problema:
  • Temos índices 1 (pois x=\sqrt[1]{x}), n (em \sqrt[n]{x}) e 4 (em \sqrt[4]{x}).
  • Escolhemos como índice comum l=\operatorname{lcm}(n,4), o mínimo múltiplo comum de n e 4. Com esse l podemos reescrever cada fator como uma raiz de índice l.

Passo 4

Reescrevendo cada fator com índice l:
  • x = \sqrt[1]{x} = \sqrt[l]{x^{l}}, porque elevar o radicando a l e tomar raiz de índice l devolve x.
  • \sqrt[n]{x} = \sqrt[l]{x^{\,l/n}}, pois l é múltiplo de n e l/n é inteiro.
  • \sqrt[4]{x} = \sqrt[l]{x^{\,l/4}}, pois l é múltiplo de 4 e l/4 é inteiro.
    Essas igualdades estão em conformidade com a propriedade mostrada no passo anterior.

Passo 5

Juntando tudo sob o mesmo radical:
  • O numerador fica \sqrt[l]{x^{l}}\cdot\sqrt[l]{x^{\,l/n}}=\sqrt[l]{x^{\,l + l/n}}.
  • Dividindo pelo denominador escrito também com índice l
\frac{\sqrt[l]{x^{\,l + l/n}}}{\sqrt[l]{x^{\,l/4}}}=\sqrt[l]{x^{\,l + l/n - l/4}}.
Aqui usei a propriedade \dfrac{\sqrt[l]{A}}{\sqrt[l]{B}}=\sqrt[l]{A/B}.

Passo 6

Simplificando o expoente dentro da raiz:
  • Primeiro calcule a soma/diferença das frações dentro do parêntese:
1+\frac{1}{n}-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}+\frac{1}{n}=\frac{3n+4}{4n}.
  • Logo l + \dfrac{l}{n} - \dfrac{l}{4}=l\!\left(1+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{4}\right)=l\cdot\frac{3n+4}{4n}.
  • Agora escrever l de forma útil: se g=\gcd(n,4) então \operatorname{lcm}(n,4)=l=\dfrac{4n}{g}. Substituindo:
l\cdot\frac{3n+4}{4n}=\frac{4n}{g}\cdot\frac{3n+4}{4n}=\frac{3n+4}{g}.
  • Observação: \dfrac{3n+4}{g} é um número inteiro, porque l/n e l/4 eram inteiros; essa manipulação garante que o expoente dentro da raiz seja inteiro, como deve ser em uma raiz do tipo \sqrt[l]{x^{\text{inteiro}}}.

Passo 7

Portanto a expressão simplificada, escrita como um único radical de índice l=\operatorname{lcm}(n,4)=\dfrac{4n}{\gcd(n,4)}, tem o radicando elevado ao inteiro \dfrac{3n+4}{\gcd(n,4)}. Em outras palavras, a forma em radicais equivalente é
\sqrt\left[\frac{4n}{\gcd(n,4)}\right]{\,x^{\frac{3n+4}{\gcd(n,4)}}\,}.
(Esse é o resultado final em forma de raiz; nota: para casos particulares, quando \gcd(n,4)=1 isso se reduz a \sqrt[4n]{x^{3n+4}}.)

Resposta

\sqrt\left[\frac{4n}{\gcd(n,4)}\right]{\,x^{\frac{3n+4}{\gcd(n,4)}}\,}

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