Calcule as expressões e represente o resultado na forma de raiz, sem transformar em potências:
e)
e)
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Dá a expressão
. - Pede calcular essa expressão e apresentar o resultado na forma de raiz (ou seja, usando radicais), sem transformar o resultado final em potências
. - Observação importante sobre domínio: para que as raízes principais estejam bem definidas no conjunto dos números reais, assumimos
.
Passo 2
Recordando propriedades básicas de radicais (explicação passo a passo e intuitiva):
- Se duas raízes têm o mesmo índice, pode-se multiplicá‑las juntando os radicandos dentro de uma única raiz:
. Aqui e são os números (ou expressões) dentro das raízes, e é o índice comum. - De modo análogo,
. - Se duas raízes têm índices diferentes, é conveniente escrever ambas com um mesmo índice comum (um múltiplo dos índices originais). Para isso, se
é múltiplo de , então . Isso transforma a raiz de índice em uma raiz de índice , preservando o valor.
Exemplo pequeno e concreto para fixar:. Um índice comum é . Reescreve-se e , então o produto é .
Passo 3
Aplicando a ideia do índice comum ao nosso problema:
- Temos índices
(pois ), (em ) e (em ). - Escolhemos como índice comum
, o mínimo múltiplo comum de e . Com esse podemos reescrever cada fator como uma raiz de índice .
Passo 4
Reescrevendo cada fator com índice
:
-
, porque elevar o radicando a e tomar raiz de índice devolve . -
, pois é múltiplo de e é inteiro. -
, pois é múltiplo de e é inteiro.
Essas igualdades estão em conformidade com a propriedade mostrada no passo anterior.
Passo 5
Juntando tudo sob o mesmo radical:
- O numerador fica
. - Dividindo pelo denominador escrito também com índice
dá
Aqui usei a propriedade
.
Passo 6
Simplificando o expoente dentro da raiz:
- Primeiro calcule a soma/diferença das frações dentro do parêntese:
- Logo
- Agora escrever
de forma útil: se então . Substituindo:
- Observação:
é um número inteiro, porque e eram inteiros; essa manipulação garante que o expoente dentro da raiz seja inteiro, como deve ser em uma raiz do tipo .
Passo 7
Portanto a expressão simplificada, escrita como um único radical de índice
, tem o radicando elevado ao inteiro
. Em outras palavras, a forma em radicais equivalente é
(Esse é o resultado final em forma de raiz; nota: para casos particulares, quando
isso se reduz a
.)