Complete a tabela identificando a que conjunto pertence:
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1/3
Números primos
Massa do elétron
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| Números primos | ||||||
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| Massa do elétron | ||||||
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Passo 1
Vamos organizar direitinho o que o exercício pede e as convenções que vou usar (pega leve que eu estou do seu lado!). A tabela pede, para cada item, indicar a que conjuntos numéricos ele pertence entre
,
,
,
,
e
.
Convenições que vou adotar aqui (porque isso muda algumas respostas):
- Vou tomar
(naturais incluindo ). Se sua turma usa , aí só muda a linha do . - Vou interpretar
como (logaritmo na base ). Isso é útil porque a irracionalidade de é fácil de justificar de maneira elementar. Se sua intenção era (logaritmo natural), a conclusão prática (irracional) é a mesma.
Itens dados na tabela (vou trabalhar um por um):
-
-
-
-
-
-
-
- Números primos (conjunto de primos)
-
- Massa do elétron (valor físico medido)
-
? -
?
Passo 2
Vou lembrar rapidamente (e com exemplos) o que significam os conjuntos — isso ajuda a saber onde cada número cai. Sem pânico, é só revisão:
-
: números naturais. Aqui tomo . Ex.: estão em . -
: inteiros. Inclui todos os naturais e os negativos: . -
: racionais. Números que podem ser escritos como com e . Ex.: são racionais. -
: irracionais. Números reais que não são racionais. Ex.: . -
: números reais. União de e . Tem todos os números “na reta”. -
: números complexos. Formados como com e . .
Importante:
e
são disjuntos e sua união é
. Todo elemento de
também é elemento de
.
Passo 3
Agora vou analisar cada item com explicações curtas e raciocínio claro.
Item 1:
(tomando
como
).
- Se
fosse racional, haveria inteiros com . Isso equivaleria a , ou seja . - O lado esquerdo
é divisível por (já que ), mas o lado direito não é divisível por . Contradição. Logo não é racional. - Conclusão:
. Como irracional é real, vale também e trivialmente . Não pertence a , ou .
Passo 4
Item 2:
.
- Fato clássico:
é irracional (e até transcendente). Não vou provar a transcendência aqui, mas é padrão: . - Assim
, portanto e . Não está em nem nem .
Passo 5
Item 3:
.
- Se
fosse racional, existiriam inteiros com . Elevando ao quadrado: ⇒ . Isso implica que divide e, portanto, divide . Escreva e substitua: ⇒ , então divide também. Assim e teriam fator comum , contradizendo a escolha de fração irredutível. Logo . - Portanto
. Não está em nem nem .
Passo 6
Item 4:
.
- Simplifica:
. -
é da forma com , ; logo é racional: . - Todo racional é real e complexo, então
. - Não é inteiro nem natural (não está em
nem em ) nem irracional ( ).
Passo 7
Item 5:
.
-
(uma forma imaginária pura). Seu valor não é um número real (porque quadrado negativo). - Portanto não pertence a
, nem a , ou ou (irracional é conceito dentro dos reais). Pertence ao conjunto dos complexos: . - Resumo: só
.
Passo 8
Item 6:
.
- Pela convenção adotada,
. - Também
. Escreve-se , então . - Sendo racional, é real e complexo:
e . - Não é irracional (
).
Passo 9
Item 7:
.
-
é uma fração de inteiros com denominador não zero, logo . - Assim
e . - Não é inteiro nem natural, nem irracional.
Passo 10
Item 8: Números primos (o conjunto dos primos).
- Todo número primo é um número natural (por definição costuma-se ver primos como naturais
). Assim os primos estão em . - Sendo naturais, também são inteiros:
, então primos . - Como inteiros podem ser escritos como
, são racionais: primos . - Sendo racionais, são reais e complexos: primos
e . - Não são irracionais. Então conjunto dos primos pertence (como subconjuntos) a
.
Passo 11
Item 9:
.
-
. -
(pela convenção), , , , . - Não é irracional (
).
Passo 12
Item 10: Massa do elétron.
- A massa do elétron é uma quantidade física que se representa por um número real positivo (valor medido aproximadamente
). Em teoria experimental ela é um número real; não há razão para tratá-la como racional ou inteiro. Portanto, a classificação correta e segura é: pertence a e, por inclusão, a . - Não é adequado afirmar que ela é racional, inteira ou natural sem uma demonstração matemática; então não marque
ou .
Passo 13
Item 11:
.
- Calcule:
. -
. Logo também em e . - Não é inteiro, natural nem irracional.
Passo 14
Item 12:
.
- Use a identidade de diferença de quadrados:
. - Aqui
, . Então o produto vale . -
. Logo , , . - Não pertence a
(naturais com não têm ) e não é irracional.
Resposta
Números primos:\
Massa do elétron:\