Complete a tabela identificando a que conjunto pertence:
\mathbb{N} \mathbb{Z} \mathbb{Q} \mathbb{I} \mathbb{R} \mathbb{C}
\log 2
\pi
\sqrt{3}
2 / 4
\sqrt{-5}
0
1/3
Números primos
e^{0}
Massa do elétron
\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=
(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})=

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o exercício pede e as convenções que vou usar (pega leve que eu estou do seu lado!). A tabela pede, para cada item, indicar a que conjuntos numéricos ele pertence entre \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{I}, \mathbb{R} e \mathbb{C}.
Convenições que vou adotar aqui (porque isso muda algumas respostas):
  • Vou tomar \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\} (naturais incluindo 0). Se sua turma usa \mathbb{N}=\{1,2,\dots\}, aí só muda a linha do 0.
  • Vou interpretar \log 2 como \log_{10}2 (logaritmo na base 10). Isso é útil porque a irracionalidade de \log_{10}2 é fácil de justificar de maneira elementar. Se sua intenção era \ln 2 (logaritmo natural), a conclusão prática (irracional) é a mesma.
Itens dados na tabela (vou trabalhar um por um):
  1. \log 2
  2. \pi
  3. \sqrt{3}
  4. 2/4
  5. \sqrt{-5}
  6. 0
  7. 1/3
  8. Números primos (conjunto de primos)
  9. e^{0}
  10. Massa do elétron (valor físico medido)
  11. \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}= ?
  12. (\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})= ?

Passo 2

Vou lembrar rapidamente (e com exemplos) o que significam os conjuntos — isso ajuda a saber onde cada número cai. Sem pânico, é só revisão:
  • \mathbb{N}: números naturais. Aqui tomo \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}. Ex.: 0,1,2 estão em \mathbb{N}.
  • \mathbb{Z}: inteiros. Inclui todos os naturais e os negativos: \{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}.
  • \mathbb{Q}: racionais. Números que podem ser escritos como \dfrac{a}{b} com a\in\mathbb{Z} e b\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}. Ex.: \dfrac{1}{2}, -3, 0 são racionais.
  • \mathbb{I}: irracionais. Números reais que não são racionais. Ex.: \sqrt{2},\pi.
  • \mathbb{R}: números reais. União de \mathbb{Q} e \mathbb{I}. Tem todos os números “na reta”.
  • \mathbb{C}: números complexos. Formados como a+bi com a,b\in\mathbb{R} e i^2=-1. \mathbb{R}\subset\mathbb{C}.
Importante: \mathbb{Q} e \mathbb{I} são disjuntos e sua união é \mathbb{R}. Todo elemento de \mathbb{R} também é elemento de \mathbb{C}.

Passo 3

Agora vou analisar cada item com explicações curtas e raciocínio claro.
Item 1: \log 2 (tomando \log como \log_{10}).
  • Se \log_{10}2 fosse racional, haveria inteiros p,q com \log_{10}2=\dfrac{p}{q}. Isso equivaleria a 10^{p/q}=2, ou seja 10^{p}=2^{q}.
  • O lado esquerdo 10^{p} é divisível por 5 (já que 10=2\cdot5), mas o lado direito 2^{q} não é divisível por 5. Contradição. Logo \log_{10}2 não é racional.
  • Conclusão: \log 2\in\mathbb{I}. Como irracional é real, vale também \log 2\in\mathbb{R} e trivialmente \log 2\in\mathbb{C}. Não pertence a \mathbb{N}, \mathbb{Z} ou \mathbb{Q}.

Passo 4

Item 2: \pi.
  • Fato clássico: \pi é irracional (e até transcendente). Não vou provar a transcendência aqui, mas é padrão: \pi\notin\mathbb{Q}.
  • Assim \pi\in\mathbb{I}, portanto \pi\in\mathbb{R} e \pi\in\mathbb{C}. Não está em \mathbb{N} nem \mathbb{Z} nem \mathbb{Q}.

Passo 5

Item 3: \sqrt{3}.
  • Se \sqrt{3} fosse racional, existiriam inteiros a,b com \sqrt{3}=a/b. Elevando ao quadrado: 3=a^{2}/b^{2} 3b^{2}=a^{2}. Isso implica que 3 divide a^{2} e, portanto, divide a. Escreva a=3k e substitua: 3b^{2}=9k^{2} b^{2}=3k^{2}, então 3 divide b também. Assim a e b teriam fator comum 3, contradizendo a escolha de fração irredutível. Logo \sqrt{3}\notin\mathbb{Q}.
  • Portanto \sqrt{3}\in\mathbb{I}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}. Não está em \mathbb{N} nem \mathbb{Z} nem \mathbb{Q}.

Passo 6

Item 4: 2/4.
  • Simplifica: \dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}.
  • \dfrac{1}{2} é da forma \dfrac{a}{b} com a,b\in\mathbb{Z}, b\ne0; logo é racional: \dfrac{1}{2}\in\mathbb{Q}.
  • Todo racional é real e complexo, então \dfrac{2}{4}\in\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}.
  • Não é inteiro nem natural (não está em \mathbb{Z} nem em \mathbb{N}) nem irracional ( \notin\mathbb{I}).

Passo 7

Item 5: \sqrt{-5}.
  • \sqrt{-5}= \sqrt{5}\,i (uma forma imaginária pura). Seu valor não é um número real (porque quadrado negativo).
  • Portanto não pertence a \mathbb{R}, nem a \mathbb{Q}, \mathbb{Z} ou \mathbb{N} ou \mathbb{I} (irracional é conceito dentro dos reais). Pertence ao conjunto dos complexos: \sqrt{-5}\in\mathbb{C}.
  • Resumo: só \mathbb{C}.

Passo 8

Item 6: 0.
  • Pela convenção adotada, 0\in\mathbb{N}.
  • Também 0\in\mathbb{Z}. Escreve-se 0=\dfrac{0}{1}, então 0\in\mathbb{Q}.
  • Sendo racional, é real e complexo: 0\in\mathbb{R} e 0\in\mathbb{C}.
  • Não é irracional ( 0\notin\mathbb{I}).

Passo 9

Item 7: 1/3.
  • \dfrac{1}{3} é uma fração de inteiros com denominador não zero, logo \dfrac{1}{3}\in\mathbb{Q}.
  • Assim \dfrac{1}{3}\in\mathbb{R} e \dfrac{1}{3}\in\mathbb{C}.
  • Não é inteiro nem natural, nem irracional.

Passo 10

Item 8: Números primos (o conjunto dos primos).
  • Todo número primo é um número natural (por definição costuma-se ver primos como naturais 2,3,5,\dots). Assim os primos estão em \mathbb{N}.
  • Sendo naturais, também são inteiros: \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}, então primos \subset\mathbb{Z}.
  • Como inteiros podem ser escritos como \dfrac{p}{1}, são racionais: primos \subset\mathbb{Q}.
  • Sendo racionais, são reais e complexos: primos \subset\mathbb{R} e \subset\mathbb{C}.
  • Não são irracionais. Então conjunto dos primos pertence (como subconjuntos) a \mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}.

Passo 11

Item 9: e^{0}.
  • e^{0}=1.
  • 1\in\mathbb{N} (pela convenção), 1\in\mathbb{Z}, 1\in\mathbb{Q}, 1\in\mathbb{R}, 1\in\mathbb{C}.
  • Não é irracional ( 1\notin\mathbb{I}).

Passo 12

Item 10: Massa do elétron.
  • A massa do elétron é uma quantidade física que se representa por um número real positivo (valor medido aproximadamente 9{,}109\times10^{-31}\,\text{kg}). Em teoria experimental ela é um número real; não há razão para tratá-la como racional ou inteiro. Portanto, a classificação correta e segura é: pertence a \mathbb{R} e, por inclusão, a \mathbb{C}.
  • Não é adequado afirmar que ela é racional, inteira ou natural sem uma demonstração matemática; então não marque \mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q} ou \mathbb{I}.

Passo 13

Item 11: \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}.
  • Calcule: \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}.
  • \dfrac{1}{2}\in\mathbb{Q}. Logo também em \mathbb{R} e \mathbb{C}.
  • Não é inteiro, natural nem irracional.

Passo 14

Item 12: (\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3}).
  • Use a identidade de diferença de quadrados: (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}.
  • Aqui a=\sqrt{2}, b=\sqrt{3}. Então o produto vale (\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{3})^{2}=2-3=-1.
  • -1\in\mathbb{Z}. Logo -1\in\mathbb{Q}, -1\in\mathbb{R}, -1\in\mathbb{C}.
  • Não pertence a \mathbb{N} (naturais com 0,1,2,\dots não têm -1) e não é irracional.

Resposta

\log 2:\\ \mathbb{I},\\ \mathbb{R},\\ \mathbb{C}
\pi:\\ \mathbb{I},\\ \mathbb{R},\\ \mathbb{C}
\sqrt{3}:\\ \mathbb{I},\\ \mathbb{R},\\ \mathbb{C}
\dfrac{2}{4}:\\ \mathbb{Q},\\ \mathbb{R},\\ \mathbb{C}
\sqrt{-5}:\\ \mathbb{C}
0:\\ \mathbb{N},\\ \mathbb{Z},\\ \mathbb{Q},\\ \mathbb{R},\\ \mathbb{C}
\dfrac{1}{3}:\\ \mathbb{Q},\\ \mathbb{R},\\ \mathbb{C}
Números primos:\ \mathbb{N},\\ \mathbb{Z},\\ \mathbb{Q},\\ \mathbb{R},\\ \mathbb{C}
e^{0}:\\ \mathbb{N},\\ \mathbb{Z},\\ \mathbb{Q},\\ \mathbb{R},\\ \mathbb{C}
Massa do elétron:\ \mathbb{R},\\ \mathbb{C}
\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}:\\ \mathbb{Q},\\ \mathbb{R},\\ \mathbb{C}
(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3}):\\ \mathbb{Z},\\ \mathbb{Q},\\ \mathbb{R},\\ \mathbb{C}

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