Calcule as expressões e represente o resultado na forma de raiz, sem transformar em potências:
c) 2 \frac{25+\sqrt{125}}{25-\sqrt{125}}=

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão
2\frac{25+\sqrt{125}}{25-\sqrt{125}}
e representar o resultado na forma de raiz. As informações relevantes dadas são:
  • A expressão inteira que devemos simplificar é 2 vezes a fração \dfrac{25+\sqrt{125}}{25-\sqrt{125}}.
  • Aparece \sqrt{125}, que pode ser simplificada porque 125=25\cdot5.

Passo 2

Primeiro, simplificar \sqrt{125}. Usamos a propriedade \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b} e o fato de que 25 é um quadrado perfeito:
\sqrt{125}=\sqrt{25\cdot5}=\sqrt{25}\,\sqrt{5}=5\sqrt{5}.
Explicação rápida: separar um fator quadrado perfeito dentro da raiz permite tirá-lo para fora como número.

Passo 3

Substituindo \sqrt{125}=5\sqrt{5} na fração, obtemos
\frac{25+\sqrt{125}}{25-\sqrt{125}}=\frac{25+5\sqrt{5}}{25-5\sqrt{5}}.
Fatorando 5 em numerador e denominador:
\frac{25+5\sqrt{5}}{25-5\sqrt{5}}=\frac{5(5+\sqrt{5})}{5(5-\sqrt{5})}.
Como 5\neq0, podemos cancelar o 5:
\frac{5+\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}.

Passo 4

Agora racionalizamos o denominador (tirar a raiz do denominador) multiplicando numerador e denominador pelo conjugado 5+\sqrt{5}. Isso usa a identidade (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}. Assim:
\frac{5+\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}\cdot\frac{5+\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}} =\frac{(5+\sqrt{5})^{2}}{5^{2}-(\sqrt{5})^{2}}.

Passo 5

Calcular os quadrados:
(5+\sqrt{5})^{2}=5^{2}+2\cdot5\cdot\sqrt{5}+(\sqrt{5})^{2}=25+10\sqrt{5}+5=30+10\sqrt{5},
e
5^{2}-(\sqrt{5})^{2}=25-5=20.
Portanto a fração fica
\frac{30+10\sqrt{5}}{20}.

Passo 6

Simplificar a fração dividindo numerador e denominador por 10:
\frac{30+10\sqrt{5}}{20}=\frac{10(3+\sqrt{5})}{20}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}.

Passo 7

Voltar ao fator 2 que estava fora da fração. Temos
2\cdot\frac{3+\sqrt{5}}{2}=3+\sqrt{5},
pois o 2 do numerador cancela o 2 do denominador.

Passo 8

Verificação numérica rápida (opcional, só para conferir): \sqrt{5}\approx2{,}236, então 3+\sqrt{5}\approx5{,}236. Calculando a expressão original numericamente também dá cerca de 5{,}236, então está coerente.

Resposta

3+\sqrt{5}

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