Calcule as expressões e simplifique os resultados:
a) x^{n}-\frac{x-1}{x^{1-n}}=

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
x^{n}-\frac{x-1}{x^{1-n}}.
Informações importantes que recebemos:
  • A expressão envolve potências de x com expoentes que dependem de n.
  • Há uma divisão por x^{1-n}, portanto a expressão só está bem definida quando x\neq 0.
  • Não foram dadas restrições sobre n; as manipulações algébricas abaixo valem para n real sempre que as potências estejam definidas (em particular se n for inteiro, valem para qualquer x\neq0).

Passo 2

Relembrando regras básicas de potências que vamos usar (com explicação simples):
  • Produto de potências de mesma base: para quaisquer números a e expoentes p,q,
a^{p}\cdot a^{q}=a^{p+q}.
  • Potência com expoente negativo: para a\neq0 e expoente r,
a^{-r}=\frac{1}{a^{r}}.
  • Divisão por potência: combinar as duas regras acima dá
\frac{1}{a^{r}}=a^{-r}\quad\text{e}\quad\frac{b}{a^{r}}=b\cdot a^{-r}.
Aqui a representa a base (no nosso caso x), p,q,r representam expoentes (podem ser n, 1-n, etc.). Essas regras são as ferramentas que vamos aplicar passo a passo.

Passo 3

Aplicar a regra da divisão por potência ao termo \dfrac{x-1}{x^{1-n}}. Usando \dfrac{b}{a^{r}}=b\cdot a^{-r} com b=(x-1), a=x e r=1-n, obtemos
\frac{x-1}{x^{1-n}}=(x-1)\cdot x^{-(1-n)}.
Simplificando o expoente negativo:
x^{-(1-n)}=x^{n-1}.
Portanto
\frac{x-1}{x^{1-n}}=(x-1)\,x^{n-1}.

Passo 4

Substituímos o resultado do Passo 3 na expressão original:
x^{n}-\frac{x-1}{x^{1-n}}=x^{n}-(x-1)\,x^{n-1}.
Agora observe que ambos os termos têm um fator comum x^{n-1}. Vamos fatorar x^{n-1}.

Passo 5

Fatorando x^{n-1} do lado direito:
x^{n}-(x-1)\,x^{n-1}=x^{n-1}\bigl(x-(x-1)\bigr).
Calcule o que está dentro dos parênteses:
x-(x-1)=x-x+1=1.
Portanto a expressão fica simplesmente
x^{n-1}\cdot 1 = x^{n-1}.

Passo 6

Verificação numérica rápida para ganhar confiança (exemplo): tome x=2 e n=3.
  • Avaliando a expressão original:
2^{3}-\frac{2-1}{2^{1-3}}=8-\frac{1}{2^{-2}}=8-\frac{1}{\tfrac{1}{4}}=8-4=4.
  • Avaliando o resultado simplificado:
2^{3-1}=2^{2}=4.
Confere! Lembre-se da restrição x\neq0 mencionada no Passo 1.

Resposta

x^{n-1}

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