Calcule as expressões e simplifique os resultados:
c) \frac{x^{2}}{x^{2}+5 x^{3}}=

Passo 1

O enunciado pede para calcular e simplificar a expressão
\frac{x^{2}}{x^{2}+5x^{3}}.
Informações fornecidas:
  • Numerador: \;x^{2}.
  • Denominador: \;x^{2}+5x^{3}.
  • Importante: a expressão só faz sentido quando o denominador for diferente de zero, ou seja quando \;x^{2}+5x^{3}\neq 0.

Passo 2

Vamos olhar o denominador e procurar fatores comuns. Repare que ambos os termos do denominador têm um fator x^{2}. Então fatoramos x^{2} do denominador:
x^{2}+5x^{3}=x^{2}(1+5x).

Passo 3

Substituindo essa fatoração na fração obtemos
\frac{x^{2}}{x^{2}+5x^{3}}=\frac{x^{2}}{x^{2}(1+5x)}.
Agora podemos simplificar (cancelar) o fator comum x^{2} no numerador e no denominador. Explicando a ideia: cancelar equivale a dividir numerador e denominador pelo mesmo fator, o que é válido só se esse fator for diferente de zero.

Passo 4

Fazendo a divisão por x^{2} (assumindo x^{2}\neq 0, ou seja x\neq 0) obtemos
\frac{x^{2}}{x^{2}(1+5x)}=\frac{1}{1+5x}.
Mas ainda precisamos garantir que o denominador resultante não seja zero: 1+5x\neq 0, o que dá x\neq -\tfrac{1}{5}. Além disso, ao cancelar x^{2} exigimos x\neq 0. Portanto a expressão simplificada é válida para todos os x tais que x\neq 0 e x\neq -\tfrac{1}{5}.

Passo 5

Verificação rápida com um valor numérico (exemplo): para x=1,
\frac{x^{2}}{x^{2}+5x^{3}}=\frac{1}{1+5}= \frac{1}{6},
e a forma simplificada \dfrac{1}{1+5x} também dá \dfrac{1}{6}. Isso confirma a equivalência para um caso permitido.

Resposta

\dfrac{1}{1+5x}, \;x\neq 0,\;x\neq -\tfrac{1}{5}

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