Calcule as expressões e represente o resultado na forma de raiz, sem transformar em potências:
k) \frac{12}{36+8 \sqrt{2}}=

Passo 1

O enunciado dá a expressão a ser calculada e pede que o resultado seja representado na forma de raiz (com radicais), sem converter para potências. A expressão é:
\frac{12}{36+8\sqrt{2}}.

Passo 2

Estratégia que vamos usar (sem resolver ainda): quando o denominador contém um radical do tipo a+b\sqrt{c} uma técnica prática é racionalizar o denominador, isto é, multiplicar numerador e denominador pelo conjugado a-b\sqrt{c}. Isso funciona porque
(a+b\sqrt{c})(a-b\sqrt{c})=a^2-(b\sqrt{c})^2=a^2-b^2c,
uma expressão sem radicais. Aqui a, b e c são números (no nosso caso c será 2).

Passo 3

Antes de racionalizar, simplificamos um fator comum no denominador para ficar mais limpo. Observando:
36+8\sqrt{2}=4\bigl(9+2\sqrt{2}\bigr).
Portanto
\frac{12}{36+8\sqrt{2}}=\frac{12}{4\bigl(9+2\sqrt{2}\bigr)}=\frac{3}{9+2\sqrt{2}}.
(Usei que 12\div 4=3.)

Passo 4

Agora racionalizamos multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de 9+2\sqrt{2}, que é 9-2\sqrt{2}:
\frac{3}{9+2\sqrt{2}}\cdot\frac{9-2\sqrt{2}}{9-2\sqrt{2}}=\frac{3(9-2\sqrt{2})}{(9+2\sqrt{2})(9-2\sqrt{2})}.

Passo 5

Calculemos numerador e denominador separadamente. Numerador:
3(9-2\sqrt{2})=27-6\sqrt{2}.
Denominador (usando a identidade do Passo 2):
(9+2\sqrt{2})(9-2\sqrt{2})=9^2-(2\sqrt{2})^2=81-(4\cdot 2)=81-8=73.

Passo 6

Juntando:
\frac{3(9-2\sqrt{2})}{73}=\frac{27-6\sqrt{2}}{73}.
Verificamos se há fator comum que permita reduzir, mas 73 é primo e não divide 27 nem 6, então a fração já está totalmente simplificada.

Resposta

\frac{27-6\sqrt{2}}{73}

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