Calcule os extremantes locais de
Passo 1
O enunciado pede para calcular os extremantes locais da função f(x,y)=x{2}+3xy+4y{2}-6x+2y. O conteúdo da matéria envolve derivadas parciais para encontrar pontos críticos e, em seguida, classificação desses pontos usando a matriz Hessiana.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de f em relação a x e y para achar os pontos críticos:
Passo 3
Igualamos f_x e f_y a zero e montamos o sistema
Resolvendo por substituição, de 2x+3y=6 vem x=(6-3y)/2. Substituindo em 3x+8y=-2 obtemos y=-22/7 e então x=54/7.
Passo 4
Agora montamos a matriz Hessiana H com as segundas derivadas de f:
O determinante de H é D=2·8−3^{2}=7.
Passo 5
Como D=7>0 e f_{xx}=2>0, concluímos que o ponto crítico é um mínimo local.
Resposta
A função possui um único ponto crítico em
, que é um mínimo local (valor de f nesse ponto:
).