Calcule os extremantes locais de
f(x, y)=x^2+3 x y+4 y^2-6 x+2 y

Passo 1

O enunciado pede para calcular os extremantes locais da função f(x,y)=x{2}+3xy+4y{2}-6x+2y. O conteúdo da matéria envolve derivadas parciais para encontrar pontos críticos e, em seguida, classificação desses pontos usando a matriz Hessiana.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f em relação a x e y para achar os pontos críticos:
fx=2x+3y-6
fy=3x+8y+2

Passo 3

Igualamos f_x e f_y a zero e montamos o sistema
2x+3y=6, 3x+8y=-2
Resolvendo por substituição, de 2x+3y=6 vem x=(6-3y)/2. Substituindo em 3x+8y=-2 obtemos y=-22/7 e então x=54/7.

Passo 4

Agora montamos a matriz Hessiana H com as segundas derivadas de f:
H= fxx & fxy fxy & fyy =2 & 33 & 8
O determinante de H é D=2·8−3^{2}=7.

Passo 5

Como D=7>0 e f_{xx}=2>0, concluímos que o ponto crítico é um mínimo local.

Resposta

A função possui um único ponto crítico em (tfrac547,-tfrac227), que é um mínimo local (valor de f nesse ponto: -tfrac1847).

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