Determine o volume:
do sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
.
do sólido limitado pelo cilindro
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é limitado pelo cilindro $ y = \cos(x) $ e pelos planos $ z = y $, $ x = 0 $, $ x = \frac{\pi}{2} $ e $ z = 0 $. Isso está entrando na área de Cálculo Multivariável, mais especificamente em integrais múltiplas para calcular volumes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. O sólido está limitado entre $ x = 0 $ e $ x = \frac{\pi}{2} $. Para cada valor de $ x $ nesse intervalo, $ y $ varia de 0 até $ \cos(x) $, já que o cilindro é dado por $ y = \cos(x) $.
Passo 3
Agora, para o valor de $ z $, ele varia de 0 até $ y $, porque o plano superior é $ z = y $. Isso significa que, para cada ponto $ (x, y) $, a altura $ z $ vai de 0 até $ y $.
Passo 4
Vamos montar a integral tripla para calcular o volume. A ordem de integração será $ dz $, $ dy $ e $ dx $, seguindo os limites que determinamos:
Passo 5
Primeiro, integramos em relação a $ z $. A integral de $ dz $ de 0 a $ y $ é simplesmente $ y $:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, integramos em relação a $ y $. A integral de $ y , dy $ de 0 a $ \cos(x) $ é:
Então, a integral fica:
Passo 7
A última parte é integrar $ \frac{1}{2} \cos^2(x) $ em relação a $ x $ de 0 a $ \frac{\pi}{2} $. Para resolver isso, usamos a identidade trigonométrica:
Então, a integral se torna:
Integrando termo a termo:
Ao calcular os limites, temos:
Resposta
O volume do sólido é $ \frac{\pi}{8} $ unidades cúbicas.