Esboce o gráfico das regiões polares:
a) r=1-2 cos (theta)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa desenhar o gráfico da função polar $ r = 1 - 2 \cos(\theta) $. Isso envolve coordenadas polares, que são diferentes das coordenadas cartesianas que a gente costuma usar no dia a dia. Aqui, em vez de usar $ x $ e $ y $, usamos $ r $ e $ \theta $, onde $ r $ é a distância do ponto até a origem e $ \theta $ é o ângulo que o ponto faz com o eixo positivo $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar alguns pontos específicos para entender como o gráfico se comporta. Vamos calcular $ r $ para alguns valores de $ \theta $. Vamos escolher ângulos comuns como $ 0 $, $ \frac{\pi}{2} $, $ \pi $, $ \frac{3\pi}{2} $ e $ 2\pi $.
  • Para $ \theta = 0 $: r
  • Para $ \theta = \frac{\pi}{2} $: theta
  • Para $ \theta = \pi $: 0
  • Para $ \theta = \frac{3\pi}{2} $: pi2
  • Para $ \theta = 2\pi $: pi
Esses pontos nos ajudam a começar a plotar o gráfico.

Passo 3

Agora, vamos analisar os valores de $ r $ que encontramos:
  • Quando $ r $ é negativo, significa que o ponto está no sentido oposto ao ângulo $ \theta $. Por exemplo, $ r = -1 $ para $ \theta = 0 $ é o mesmo que $ r = 1 $ para $ \theta = \pi $.
  • Notamos que $ r $ varia entre -1 e 3. Isso indica que o gráfico terá pontos que se estendem até uma distância máxima de 3 unidades da origem.

Passo 4

Vamos verificar se há simetria no gráfico. A função $ r = 1 - 2 \cos(\theta) $ mostra simetria em relação ao eixo horizontal ($ x $), porque o termo que multiplica o cosseno determina essa simetria.

Passo 5

Para ter uma ideia melhor do formato, podemos plotar mais alguns pontos entre $ 0 $ e $ 2\pi $. Por exemplo:
  • Para $ \theta = \frac{\pi}{3} $: 0
  • Para $ \theta = \frac{2\pi}{3} $: 2pi
Esses pontos adicionais ajudam a completar o desenho do gráfico.

Resposta

Com base nos cálculos e análises, o gráfico de $ r = 1 - 2 \cos(\theta) $ é uma cardioide que possui simetria em relação ao eixo horizontal. Ele começa em $ r = -1 $ para $ \theta = 0 $ e se estende até $ r = 3 $ para $ \theta = \pi $, formando uma curva fechada característica de uma cardioide.

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