Calcule os extremantes locais de
f(x, y)=x^3+2 x y+y^2-5 x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de extremum locais da função de duas variáveis f(x,y)=x^3+2xy+y^2-5x. O conteúdo da matéria envolve derivadas parciais, pontos críticos e análise via matriz Hessiana para classificar os extremos.

Passo 2

Para achar os pontos críticos, calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=3x^2+2y-5
partial fpartial y=2x+2y

Passo 3

Igualamos as derivadas parciais a zero e resolvemos o sistema:
3x^2+2y-5=0
2x+2y=0Longrightarrow y=-x
Substituindo y=-x na primeira equação:
3x^2+2(-x)-5=0Longrightarrow3x^2-2x-5=0
Resolvendo usando a fórmula de Bhaskara:
x=2pmraiz(-2)^2-4cdot3cdot(-5)2cdot3=2pm86
Logo temos x=5/3 e x=-1, com respectivos y=-5/3 e y=1.

Passo 4

Para classificar cada ponto, montamos a matriz Hessiana de f:
H=fxx&fxyfyx&fyy=6x&22&2
O discriminante é D=fxxfyy-fxy^2.

Passo 5

No ponto (5/3,-5/3):
fxx=6cdot53=10, fyy=2, fxy=2
D=10cdot2-2^2=20-4=16>0
Como D>0 e fxx>0, concluímos que é mínimo local.

Passo 6

No ponto (-1,1):
fxx=6cdot(-1)=-6, fyy=2, fxy=2
D=(-6)cdot2-2^2=-12-4=-16<0
Como D<0, trata-se de ponto de sela.

Resposta

Ponto de mínimo local em (5/3,-5/3) e ponto de sela em (-1,1).

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