Calcule os extremantes absolutos de
na região triangular fechada
de vértices
e
.
Passo 1
Beleza! Vamos lá: o exercício pede pra gente encontrar os extremos absolutos da função $ f(x, y) = 3xy - 6x - 3y + 7 $ dentro de uma região triangular fechada $ R $ com vértices em $ (0,0) $, $ (3,0) $ e $ (0,6) $. Isso envolve otimização de funções de duas variáveis. Vamos precisar usar derivadas parciais para achar pontos críticos no interior da região e também analisar os limites da região para garantir que não percam nenhuma solução. Bora resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos achar os pontos críticos da função no interior da região $ R $. Para isso, calculamos as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ e igualamos a zero.
A derivada parcial em relação a $ x $:
A derivada parcial em relação a $ y $:
Igualando as duas a zero:
Então, temos um ponto crítico em $ (1, 2) $.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se esse ponto crítico $ (1, 2) $ está dentro da região triangular $ R $. Olhando os vértices $ (0,0) $, $ (3,0) $ e $ (0,6) $, vemos que a região está limitada por $ x \geq 0 $, $ y \geq 0 $ e $ x + y \leq 6 $. O ponto $ (1, 2) $ satisfaz todas essas condições, então está dentro da região.
Passo 4
Vamos agora calcular o valor da função $ f $ no ponto crítico:
Então, $ f(1, 2) = 1 $.
Passo 5
Agora, precisamos analisar os limites da região triangular $ R $. A fronteira é composta por três lados:
- De $ (0,0) $ a $ (3,0) $ onde $ y = 0 $.
- De $ (3,0) $ a $ (0,6) $ onde $ y = -2x + 6 $.
- De $ (0,6) $ a $ (0,0) $ onde $ x = 0 $.
Vamos otimizar $ f $ em cada um desses lados.
Lado 1: $ y = 0 $
Essa é uma função linear em $ x $ de $ 0 $ a $ 3 $.
- Em $ x = 0 $: $ f(0, 0) = 7 $
- Em $ x = 3 $: $ f(3, 0) = -18 + 7 = -11 $
Lado 2: $ y = -2x + 6 $
Para encontrar os extremos dessa função quadrática, derivamos e igualamos a zero:
Então, $ x = 1.5 $ e $ y = -2(1.5) + 6 = 3 $.
Calculando $ f(1.5, 3) $:
Calculando $ f(1.5, 3) $:
Lado 3: $ x = 0 $
Essa é uma função linear em $ y $ de $ 0 $ a $ 6 $.
- Em $ y = 0 $: $ f(0, 0) = 7 $
- Em $ y = 6 $: $ f(0, 6) = -18 + 7 = -11 $
Passo 6
Agora, vamos reunir todos os valores encontrados:
- Ponto interno $ (1, 2) $: $ f = 1 $
- Ponto $ (0, 0) $: $ f = 7 $
- Ponto $ (3, 0) $: $ f = -11 $
- Ponto $ (1.5, 3) $: $ f = 2.5 $
- Ponto $ (0, 6) $: $ f = -11 $
Comparando esses valores, o maior valor é $ 7 $ no ponto $ (0,0) $ e o menor valor é $ -11 $ nos pontos $ (3,0) $ e $ (0,6) $.
Resposta
Os extremos absolutos da função são:
- Máximo absoluto: $ f = 7 $ no ponto $ (0, 0) $.
- Mínimo absoluto: $ f = -11 $ nos pontos $ (3, 0) $ e $ (0, 6) $.