Resolva a equação diferencial dada usando a substituição apropriada. (g) d y/d x = y/x + x/y + 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos usar uma substituição que simplifique a equação e facilite a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos observar os termos e . Eles sugerem que uma substituição envolvendo pode ser útil. Vamos definir:
Isso significa que . Agora, precisamos encontrar em termos de e suas derivadas.

Passo 3

Derivando em relação a , usamos a regra do produto:
Agora, substituímos e na equação original:
Simplificando os termos:

Passo 4

Agora, podemos cancelar o termo dos dois lados:
Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis e :

Passo 5

Fatorando do lado direito:
Agora, temos uma equação que pode ser reescrita como:

Passo 6

Integrando ambos os lados:
Vamos resolver a integral do lado esquerdo. Podemos dividir por :
Então:
Integrando:

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando todos os termos por para simplificar:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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