Resolva a equação diferencial dada usando a substituição apropriada. (g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos usar uma substituição que simplifique a equação e facilite a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos observar os termos e . Eles sugerem que uma substituição envolvendo pode ser útil. Vamos definir:
Isso significa que . Agora, precisamos encontrar em termos de e suas derivadas.
Passo 3
Derivando em relação a , usamos a regra do produto:
Agora, substituímos e na equação original:
Simplificando os termos:
Passo 4
Agora, podemos cancelar o termo dos dois lados:
Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis e :
Passo 5
Fatorando do lado direito:
Agora, temos uma equação que pode ser reescrita como:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Vamos resolver a integral do lado esquerdo. Podemos dividir por :
Então:
Integrando:
Passo 7
Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando todos os termos por para simplificar: