Calcule:
Passo 1
Entendendo a Questão e os Conceitos Envolvidos
Vamos começar resumindo o que a questão pede. Precisamos calcular a transformada inversa de Fourier da função:
Conteúdo da Matéria:
- Transformada de Fourier: Uma ferramenta matemática que transforma uma função do domínio do tempo para o domínio da frequência e vice-versa.
- Propriedades da Transformada de Fourier: Incluem a propriedade de deslocamento na frequência, que será útil para resolver este exercício.
O Que Vamos Precisar:
- Conhecer a fórmula da transformada inversa de Fourier.
- Entender a propriedade de deslocamento na frequência.
- Aplicar essas ferramentas passo a passo para encontrar a solução.
Passo 2
Aplicando a Propriedade de Deslocamento na Frequência
Primeiro, observamos a função dentro da transformada inversa:
Podemos reescrever isso para facilitar a aplicação da propriedade de deslocamento:
Isso nos mostra que a função original é uma função básica
deslocada na frequência.
Propriedade de Deslocamento na Frequência:
Se
, então:
Aplicando a propriedade inversa:
No nosso caso,
.
Passo 3
Calculando a Transformada Inversa Básica
Vamos primeiro calcular a transformada inversa da função básica sem o deslocamento:
Sabemos que:
onde
é a função degrau de Heaviside e
para garantir a convergência.
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Aplicando o Deslocamento na Frequência
Agora, aplicamos a propriedade de deslocamento para incluir o efeito de
:
Explicação:
-
representa uma modulação de frequência devido ao deslocamento . -
é o decaimento exponencial da função original. -
garante que a função seja causal (não existe antes de ).
Passo 5
Aplicando o Sinal Negativo Inicial
A questão pede a transformada inversa multiplicada por
: