Calcule: -F1^{-1}(1/(3+i*(ω-2)))

Passo 1

Entendendo a Questão e os Conceitos Envolvidos
Vamos começar resumindo o que a questão pede. Precisamos calcular a transformada inversa de Fourier da função:
Conteúdo da Matéria:
  • Transformada de Fourier: Uma ferramenta matemática que transforma uma função do domínio do tempo para o domínio da frequência e vice-versa.
  • Propriedades da Transformada de Fourier: Incluem a propriedade de deslocamento na frequência, que será útil para resolver este exercício.
O Que Vamos Precisar:
  1. Conhecer a fórmula da transformada inversa de Fourier.
  2. Entender a propriedade de deslocamento na frequência.
  3. Aplicar essas ferramentas passo a passo para encontrar a solução.

Passo 2

Aplicando a Propriedade de Deslocamento na Frequência
Primeiro, observamos a função dentro da transformada inversa:
Podemos reescrever isso para facilitar a aplicação da propriedade de deslocamento:
Isso nos mostra que a função original é uma função básica deslocada na frequência.
Propriedade de Deslocamento na Frequência:
Se , então:
Aplicando a propriedade inversa:
No nosso caso, .

Passo 3

Calculando a Transformada Inversa Básica
Vamos primeiro calcular a transformada inversa da função básica sem o deslocamento:
Sabemos que:
onde é a função degrau de Heaviside e para garantir a convergência.
No nosso caso, , então:

Passo 4

Aplicando o Deslocamento na Frequência
Agora, aplicamos a propriedade de deslocamento para incluir o efeito de :
Explicação:
  • representa uma modulação de frequência devido ao deslocamento .
  • é o decaimento exponencial da função original.
  • garante que a função seja causal (não existe antes de ).

Passo 5

Aplicando o Sinal Negativo Inicial
A questão pede a transformada inversa multiplicada por :

Resposta

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