Calcule
nos seguintes casos:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a 20ª derivada de $ f(x) = 2^{x} $ no ponto $ x = 0 $. Para isso, vamos trabalhar com cálculo de derivadas de funções exponenciais. Precisaremos entender como derivar funções exponenciais envolvendo bases diferentes de $ e $ e aplicar isso repetidamente até chegar na 20ª derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função $ f(x) = 2^{x} $ de uma forma que seja mais fácil de derivar. Sabemos que qualquer exponencial $ a^{x} $ pode ser escrita como $ e^{x \ln a} $. Então, vamos transformar nossa função:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de $ f(x) = e^{x \ln 2} $. A regra básica para derivar $ e^{u(x)} $ é $ f’(x) = u’(x) e^{u(x)} $, onde $ u(x) $ é a função no expoente.
No nosso caso, $ u(x) = x \ln 2 $, então a derivada de $ u(x) $ em relação a $ x $ é:
Então, a primeira derivada de $ f(x) $ é:
Passo 4
Agora, vamos perceber um padrão. Cada vez que derivamos $ f(x) = e^{x \ln 2} $, multiplicamos pelo coeficiente $ \ln 2 $. Então, a segunda derivada será:
E a terceira derivada será:
Passo 5
Continuando esse processo, podemos generalizar que a $ n $-ésima derivada de $ f(x) $ é:
Passo 6
Agora, queremos encontrar a 20ª derivada no ponto $ x = 0 $. Então, substituímos $ n = 20 $ e $ x = 0 $ na expressão que encontramos:
Sabemos que $ e^{0} = 1 $, então:
Resposta
$ f^{(20)}(0) = (\ln 2)^{20} $