Determine o polinômio característico, os autovalores e os autovetores das matrizes.
(rr1 & -1 -4 & 1)

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico, os autovalores e os autovetores da matriz A=1 & -1 -4 & 1. Vamos usar conceitos de determinante para achar o polinômio, resolver a equação característica para obter os autovalores e em seguida resolver sistemas lineares para os autovetores.

Passo 2

Para achar o polinômio característico, montamos det(A - lambda I)=0. Temos
A - lambda I = 1-lambda & -1 -4 & 1-lambda,
e
det(A - lambda I) = (1-lambda)^2 - (-1)(-4) = (1-lambda)^2 - 4

Passo 3

Expandindo,
(1-lambda)^2 - 4 = 1 - 2lambda + lambda^2 - 4 = lambda^2 - 2lambda - 3
Então o polinômio característico é lambda^2 - 2lambda - 3 = 0.

Passo 4

Resolvendo lambda^2 - 2lambda - 3 = 0 pelas fórmulas de Bhaskara,
lambda = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm 42,
logo os autovalores são lambda1 = 3 e lambda2 = -1.

Passo 5

Para lambda1 = 3, resolvemos (A - 3I)v = 0:
-2 & -1 -4 & -2x y = 0 implies -2x - y = 0 implies y = -2x
Um autovetor correspondente é v1 = (1, -2)^T.

Passo 6

Para lambda2 = -1, resolvemos (A + I)v = 0:
2 & -1 -4 & 2x y = 0 implies 2x - y = 0 implies y = 2x
Um autovetor correspondente é v2 = (1, 2)^T.

Resposta

Polinômio característico: lambda^2 - 2lambda - 3. Autovalores: lambda1 = 3 e lambda2 = -1. Autovetores: para lambda1=3, v1 = (1, -2)^T; para lambda2=-1, v2 = (1, 2)^T.

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