Determine o polinômio característico, os autovalores e os autovetores das matrizes.
Passo 1
O enunciado pede o polinômio característico, os autovalores e os autovetores da matriz
. Vamos usar conceitos de determinante para achar o polinômio, resolver a equação característica para obter os autovalores e em seguida resolver sistemas lineares para os autovetores.
Passo 2
Para achar o polinômio característico, montamos
. Temos
e
Passo 3
Expandindo,
Então o polinômio característico é
Passo 4
Resolvendo
pelas fórmulas de Bhaskara,
logo os autovalores são
Passo 5
Para
, resolvemos
:
Um autovetor correspondente é
Passo 6
Para
, resolvemos
:
Um autovetor correspondente é
Resposta
Polinômio característico:
. Autovalores:
e
. Autovetores: para
,
; para
,
.