Calcule as integrais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
. Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente à integração de funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar o método de frações parciais e conhecimentos básicos de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador da fração
. Precisamos fatorar o polinômio
.
Passo 3
Fatorando
, procuramos dois números que multiplicados dão 2 e somados dão -3. Esses números são -1 e -2. Portanto:
Passo 4
Agora, reescrevemos a fração
usando frações parciais. Vamos supor que:
onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 5
Para encontrar
e
, multiplicamos ambos os lados por
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para os termos com
:
Para os termos constantes:
Passo 7
Resolvendo o sistema de equações:
Podemos somar as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 8
Agora que temos
e
, podemos escrever a fração original como:
Passo 9
Vamos agora integrar termo a termo:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 10
Agora, aplicamos os limites de integração de 3 a 4:
Simplificando:
Sabemos que
, então:
Resposta
O valor da integral é
.