Calcule as integrais.
integral3^4 x+3x^2-3 x+2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral3^4 x+3x^2-3 x+2 , dx. Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente à integração de funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar o método de frações parciais e conhecimentos básicos de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da fração x+3x^2-3x+2. Precisamos fatorar o polinômio x^2-3x+2.

Passo 3

Fatorando x^2-3x+2, procuramos dois números que multiplicados dão 2 e somados dão -3. Esses números são -1 e -2. Portanto:
x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)

Passo 4

Agora, reescrevemos a fração x+3(x-1)(x-2) usando frações parciais. Vamos supor que:
x+3(x-1)(x-2) = Ax-1 + Bx-2
onde A e B são constantes que precisamos encontrar.

Passo 5

Para encontrar A e B, multiplicamos ambos os lados por (x-1)(x-2):
x + 3 = A(x - 2) + B(x - 1)
Simplificando:
x + 3 = A x - 2A + B x - B
x + 3 = (A + B)x - (2A + B)

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para os termos com x:
1 = A + B
Para os termos constantes:
3 = -2A - B

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações:
  1. A + B = 1
  2. -2A - B = 3
Podemos somar as duas equações:
(A + B) + (-2A - B) = 1 + 3
- A = 4 implies A = -4
Substituindo A = -4 na primeira equação:
-4 + B = 1 implies B = 5

Passo 8

Agora que temos A = -4 e B = 5, podemos escrever a fração original como:
x+3x^2-3x+2 = -4x-1 + 5x-2

Passo 9

Vamos agora integrar termo a termo:
integral -4x-1 , dx + integral 5x-2 , dx
Sabemos que:
integral 1x-a , dx = ln|x-a| + C
Portanto:
-4 ln|x-1| + 5 ln|x-2| + C

Passo 10

Agora, aplicamos os limites de integração de 3 a 4:
[ -4 ln|4-1| + 5 ln|4-2| ] - [ -4 ln|3-1| + 5 ln|3-2| ]
Simplificando:
-4 ln 3 + 5 ln 2 - (-4 ln 2 + 5 ln 1)
Sabemos que ln 1 = 0, então:
-4 ln 3 + 5 ln 2 + 4 ln 2
= -4 ln 3 + 9 ln 2

Resposta

O valor da integral é 9 ln 2 - 4 ln 3.

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