Prove que
Passo 1
O enunciado diz que, ao fazermos a mudança de variável
, o comportamento de
quando
deve coincidir com o de
quando
. O conteúdo aqui é a definição de limite em
e em
, e vamos usar a técnica padrão de
-
.
Passo 2
Vamos primeiro mostrar que se
, então
. Seja um
. Pela definição de limite no infinito, existe
tal que, para todo
, vale
Agora fazemos a mudança de variável para olhar em
Passo 3
Então, sempre que
, temos
e portanto
Isso mostra, pela definição de limite em
Passo 4
Agora mostramos a implicação inversa: se
, então
. Dado
, pela definição de limite em
existe
tal que, para todo
com
,
Passo 5
Reescrevendo em função de
, a condição
equivale a
. Logo, para todo
vale
o que é exatamente a definição de
Portanto, mostramos as duas implicações e concluímos que o limite em