Prove que
lim x 0^+ f(1x)=lim x infty f(x)

Passo 1

O enunciado diz que, ao fazermos a mudança de variável t=1/x, o comportamento de f(x) quando xtoinfty deve coincidir com o de f(1/x) quando xto0^+. O conteúdo aqui é a definição de limite em +infty e em 0^+, e vamos usar a técnica padrão de varepsilon- de.

Passo 2

Vamos primeiro mostrar que se limxtoinftyf(x)=L, então limxto0^+f(1/x)=L. Seja um varepsilon>0. Pela definição de limite no infinito, existe M>0 tal que, para todo x>M, vale
|f(x)-L|
Agora fazemos a mudança de variável para olhar em xto0^+. Defina
de

Passo 3

Então, sempre que 0, temos 1/x> M e portanto
|f(1/x)-L|
Isso mostra, pela definição de limite em 0^+, que limxto0^+f(1/x)=L.

Passo 4

Agora mostramos a implicação inversa: se limxto0^+f(1/x)=L, então limxtoinftyf(x)=L. Dado varepsilon>0, pela definição de limite em 0^+ existe de0 tal que, para todo x com 0,
|f(1/x)-L|

Passo 5

Reescrevendo em função de t=1/x, a condição 0 equivale a t>1/de. Logo, para todo t>1/de vale
|f(t)-L|
o que é exatamente a definição de limxtoinftyf(x)=L.
Portanto, mostramos as duas implicações e concluímos que o limite em +infty de f(x) coincide com o limite em 0^+ de f(1/x).

Resposta

limxto0^+f(1/x)=limxtoinftyf(x).

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