Calcule
nos seguintes casos:
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo de derivadas! A questão pede para a gente calcular a 20ª derivada de $ f(x) = \sin x $ no ponto $ x = 0 $. Para isso, vamos precisar entender como funcionam as derivadas das funções trigonométricas, especialmente do seno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos diz a taxa de variação dessa função em determinado ponto. No caso de funções trigonométricas como o seno, as derivadas se repetem em ciclos.
Passo 3
Vamos calcular as primeiras derivadas de $ f(x) = \sin x $ para identificar o padrão:
- A primeira derivada é $ f’(x) = \cos x $.
- A segunda derivada é $ f’’(x) = -\sin x $.
- A terceira derivada é $ f’’’(x) = -\cos x $.
- A quarta derivada é $ f’’’’(x) = \sin x $.
Passo 4
Observamos que a cada quatro derivadas, a função volta a ser $ \sin x $. Isso significa que o ciclo das derivadas se repete a cada múltiplo de 4. Portanto, para encontrar a 20ª derivada, podemos dividir 20 por 4 e ver qual parte do ciclo estamos.
Passo 5
Dividindo 20 por 4, temos:
Com resto 0. Isso quer dizer que a 20ª derivada de $ \sin x $ será igual à função original $ \sin x $.
Passo 6
Agora, precisamos avaliar essa derivada no ponto $ x = 0 $:
Passo 7
Sabemos que $ \sin(0) = 0 $. Portanto, a 20ª derivada de $ \sin x $ no ponto 0 é 0.
Resposta
$ f^{(20)}(0) = 0 $