Calcule as integrais.
integral3^infty 1(x-2)^2 d x

Passo 1

Vamos calcular a integral definida de $ \frac{1}{(x-2)^{2}} $ de 3 até o infinito. Esse tipo de integral é chamada de imprópria porque envolve um limite infinito. Para resolver, vamos usar técnicas de cálculo de integrais e entender como lidar com limites infinitos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a antiderivada da função $ \frac{1}{(x-2)^{2}} $. A antiderivada é a função que, quando derivada, dá a função original. Sabemos que:
1(x-2)^2
Aqui, vamos fazer a substituição $ u = x - 2 $, então $ du = dx $.

Passo 3

Aplicando a substituição, temos:
integral 1(x-2)^2 , dx = -1x - 2 + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração de 3 até o infinito. Como o infinito não é um número real, interpretamos essa integral como o limite quando $ b $ tende ao infinito:
b

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro do limite:
limb to infty ( -1b - 2 + 11 ) = limb to infty ( -1b - 2 + 1 )

Passo 6

Ao calcular o limite, observamos que $ \frac{1}{b - 2} $ tende a 0 quando $ b $ tende ao infinito. Portanto:
1b - 2

Resposta

A integral vale 1.

Exercícios relacionados