Calcule as integrais.
Passo 1
Vamos calcular a integral definida de $ \frac{1}{(x-2)^{2}} $ de 3 até o infinito. Esse tipo de integral é chamada de imprópria porque envolve um limite infinito. Para resolver, vamos usar técnicas de cálculo de integrais e entender como lidar com limites infinitos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a antiderivada da função $ \frac{1}{(x-2)^{2}} $. A antiderivada é a função que, quando derivada, dá a função original. Sabemos que:
Aqui, vamos fazer a substituição $ u = x - 2 $, então $ du = dx $.
Passo 3
Aplicando a substituição, temos:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 4
Agora, aplicamos os limites de integração de 3 até o infinito. Como o infinito não é um número real, interpretamos essa integral como o limite quando $ b $ tende ao infinito:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro do limite:
Passo 6
Ao calcular o limite, observamos que $ \frac{1}{b - 2} $ tende a 0 quando $ b $ tende ao infinito. Portanto:
Resposta
A integral vale 1.