Calcule (f * g)(t) (convolução de f e g ), onde f(t)=t^4 e g(t)=t^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a convolução (f*g)(t), onde f(t)=t^4 e g(t)=t^2. O conteúdo é convolução de sinais causais e vamos usar a definição integral dessa operação.

Passo 2

Pela definição de convolução de sinais causais, temos
(f*g)(t)=integral0^t f(tau),g(t-tau),dtau
e portanto
(f*g)(t)=integral0^t tau^4,(t-tau)^2,dtau

Passo 3

Expandindo o quadrado:
(t-tau)^2 = t^2 - 2ttau + tau^2,
logo o integrando é
tau^4(t-tau)^2 = t^2tau^4 - 2ttau^5 + tau^6

Passo 4

Agora integramos termo a termo de 0 a t:
integral0^t t^2tau^4,dtau = t^2t^55 = t^75,
integral0^t (-2ttau^5),dtau = -2tt^66 = -t^73,
integral0^t tau^6,dtau = t^77

Passo 5

Somando os resultados:
(f*g)(t) = t^7l(15 - 13 + 17r)

Passo 6

Simplificando o coeficiente:
15 - 13 + 17 = 21 - 35 + 15105 = 1105
Logo
(f*g)(t) = t^7105 (t>=0)

Resposta

t^7105

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