Utilize dois caminhos para mostrar que os limites abaixo não existem.
lim (x, y) (0,0) x yx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão quer que a gente mostre que o limite lim (x, y) (0,0) x yx^2+y^2 não existe, usando dois caminhos diferentes. Esse problema está na área de Cálculo Multivariável, onde analisamos limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como os limites funcionam em múltiplas direções e como a escolha de diferentes caminhos pode afetar o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher dois caminhos diferentes pelos quais (x, y) se aproxima de (0,0). Um caminho simples é o eixo x, onde y = 0. Outro caminho pode ser a linha y = x. Vamos ver o que acontece com a expressão x yx^2+y^2 em cada um desses caminhos.

Passo 3

Primeiro caminho: y = 0
Substituindo y por 0 na expressão:
x cdot 0x^2 + 0^2 = 0x^2 = 0
Então, quando nos aproximamos de (0,0) ao longo do eixo x, o limite é 0.

Passo 4

Segundo caminho: y = x
Agora, substituindo y por x na expressão:
x cdot xx^2 + x^2 = x^22x^2 = 12
Assim, ao nos aproximarmos de (0,0) ao longo da linha y = x, o limite é 12.

Passo 5

Análise dos resultados
Obtivemos dois resultados diferentes para o limite dependendo do caminho que escolhemos:
  • Pelo caminho y = 0, o limite é 0.
  • Pelo caminho y = x, o limite é 12.
Como o limite depende do caminho escolhido e não há um único valor que o limite atinja independentemente do caminho, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite lim (x, y) (0,0) x yx^2+y^2 não existe, pois os valores do limite variam conforme o caminho escolhido para se aproximar de (0,0).

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