Calcule:
f) integral0^pi6 cos ^3 x d x

Passo 1

Aqui a gente quer calcular a integral definida integral0^pi6 cos^3 x , dx. Esse tipo de integral envolve potências de funções trigonométricas e a técnica ideal é usar uma fórmula de redução de potência.

Passo 2

Para lidar com cos^3 x, usamos a identidade de redução de potência que transforma o cubo de cosseno em combinação de cossenos de ângulos simples:
cos^3 x = 14l(3cos x + cos 3xr)

Passo 3

Substituímos essa expressão na integral e exploramos a linearidade, ou seja, podemos separar somas dentro da integral:
integral0^pi6 cos^3 x,dx = 14 integral0^pi6 l(3cos x + cos 3xr),dx

Passo 4

Agora integramos cada termo separadamente. Lembrando que integral cos x,dx = sin x e integral cos(3x),dx = tfrac13sin(3x):
14 [3 integral0^pi6 cos x,dx + integral0^pi6 cos 3x,dx] = 14 [3sin x + tfrac13sin(3x)]0^pi6

Passo 5

Fazendo a avaliação nos limites: no limite superior x=tfracpi6 temos
3sinl(tfracpi6r) + tfrac13sinl(tfracpi2r) = 3cdottfrac12 + tfrac13cdot1 = tfrac32 + tfrac13 = tfrac116
e no limite inferior x=0 dá zero. Assim o resultado final é
14 cdot 116 = 1124

Resposta

1124

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