Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por
V(x, y, z)=5 x^2-3 x y+x y z
Em que direção V varia mais rapidamente em P?

Passo 1

O enunciado dá o potencial elétrico V(x,y,z)=5x^2-3xy+xyz e pergunta em que direção ele varia mais rapidamente em um ponto genérico P=(x0,y0,z0). O conteúdo aqui é o gradiente de um escalar e o fato de que a direção de maior variação é justamente a direção do vetor gradiente.

Passo 2

Para encontrar essa direção, precisamos calcular as derivadas parciais de V:
As derivadas parciais são:
partial Vpartial x=10x-3y+yz,partial Vpartial y=-3x+xz,partial Vpartial z=xy
O vetor gradiente de V em um ponto (x,y,z) é dado por
nabla V(x,y,z)=l(10x-3y+yz,,-3x+xz,,xyr)

Passo 3

A direção de maior variação de V em P=(x0,y0,z0) é justamente a direção do vetor nabla V(x0,y0,z0). Se quisermos um vetor unitário nessa direção, basta normalizar:
u=nabla V(x0,y0,z0)|nabla V(x0,y0,z0)|

Resposta

A direção de máxima variação em P=(x0,y0,z0) é dada por
nabla V(x0,y0,z0)=l(10x0-3y0+y0z0,,-3x0+x0z0,,x0y0r)
ou, em forma unitária,
nabla V(x0,y0,z0)|nabla V(x0,y0,z0)|

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