Calcule:
e) integral raiz4 x^2-3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral raiz4x^2-3,dx. Esse tipo de integral envolve uma raiz de expressão quadrática, e podemos usar substituição hiperbólica, aproveitando a identidade cosh^2t-sinh^2t=1.

Passo 2

Vamos fazer a substituição
x=raiz32cosh t
Com isso,
raiz4x^2-3=raiz3cosh^2t-3=raiz3,sinh t
e
dx=raiz32sinh t,dt

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
integralraiz4x^2-3,dx=integral(raiz3sinh t)l(raiz32sinh t,dtr)=32integralsinh^2t,dt
Aqui usamos que sinh^2t=tfraccosh(2t)-12.

Passo 4

Então
32integralsinh^2t,dt=32integralcosh(2t)-12,dt=34integral(cosh(2t)-1),dt
=34l(12sinh(2t)-tr)+C=38sinh(2t)-34t+C

Passo 5

Agora voltamos à variável x. Temos
cosh t=2xraiz3,sinh t=raiz4x^2-3raiz3
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sinh(2t)=2sinh tcosh t=4xraiz4x^2-33,
e
t=arcoshl(2xraiz3r)=ln! l(2x+raiz4x^2-3raiz3r)

Passo 6

Substituindo em tfrac38sinh(2t)-tfrac34t+C, temos
38cdot4xraiz4x^2-33-34ln! l(2x+raiz4x^2-3raiz3r)+C =x2raiz4x^2-3-34ln! l(2x+raiz4x^2-3r)+C',
onde absorvemos tfrac34lnraiz3 na constante C'.

Resposta

x2raiz4x^2-3-34lnl(2x+raiz4x^2-3r)+C

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