Calcule:
e) integral0^pi6 sen^2 x sen x d x

Passo 1

No primeiro passo resumo o enunciado: calcular integral0^pi/6 sin^2 x sin x , dx. O conteúdo aqui é integral de função trigonométrica, e vamos usar identidades de potências de seno e substituição.

Passo 2

Observamos que sin^2 x sin x = sin^3 x. Usamos a identidade sin^3 x = (1 - cos^2 x)sin x, transformando a integral em integral0^pi/6 (1 - cos^2 x)sin x , dx.

Passo 3

Fazemos a substituição u = cos x, logo du = -sin x , dx. A integral passa a ser -integral (1 - u^2) , du.

Passo 4

Integramos o polinômio: -integral (1 - u^2) , du = -l(u - u^33r) + C = -u + u^33 + C. Voltando a x, o primitivo é -cos x + cos^3 x3 + C.

Passo 5

Agora avalio nos limites: F(pi/6) = -raiz32 + raiz38 e F(0) = -1 + 13 = -23. Subtraindo, obtemos -3raiz38 + 23 = 23 - 3raiz38.

Resposta

23 - 3raiz38

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