Considere a equação de Ricatti y^prime=(x^2-x+1)+(1-2 x) y+y^2.
a) Mostre que y0(x)=x é a solução da equação.
b) Determine a soução geral da equação.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Riccati
y' = (x^2 - x + 1) ;+;(1 - 2x),y ;+; y^2
e pede duas coisas:
– (a) mostrar que y0(x)=x é uma solução particular;
– (b) achar a solução geral.
O método para a parte (b) é usar a solução particular conhecida e fazer a mudança de variável
y = y0 + 1u
para reduzir a um equação linear em u.

Passo 2

Verificamos que y0(x)=x satisfaz a equação. De um lado,
y0' = ddx(x) = 1
De outro, substituindo y=x no lado direito:
(x^2 - x +1) + (1-2x)x + x^2 = x^2 - x + 1 + x - 2x^2 + x^2 = 1
Como ambas as parcelas dão 1, concluímos que
y0' = 1 = (x^2 - x +1)+(1-2x)x+x^2,
logo y0(x)=x é de fato solução.

Passo 3

Para achar a solução geral, fazemos
y = x + 1u
Então
y' = 1 - u'u^2
No lado direito da Riccati:
(x^2 - x +1) + (1-2x)l(x + 1ur) + l(x + 1ur)^2 = 1 + 1u + 1u^2
Igualando y' e esse resultado, obtemos
1 - u'u^2 = 1 + 1u + 1u^2 Longrightarrow -,u'u^2 = 1u + 1u^2 Longrightarrow -,u' = u + 1
ou seja
u' + u = -1,
que é uma equação linear em u.

Passo 4

Resolvendo
u' + u = -1
usamos fator integrante e^x:
l(u,e^xr)' = -,e^x Longrightarrow u,e^x = -,e^x + C Longrightarrow u = C,e^-x - 1
Voltando à variável y,
y(x) = x + 1u = x + 1C,e^-x - 1,
onde C é a constante arbitrária.

Resposta

(a) ,y0(x)=x.
(b) y(x)=x+1C,e^-x-1, com C constante de integração.

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