Considere a equação de Ricatti
.
a) Mostre que
é a solução da equação.
b) Determine a soução geral da equação.
a) Mostre que
b) Determine a soução geral da equação.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de Riccati
e pede duas coisas:
– (a) mostrar que é uma solução particular;
– (b) achar a solução geral.
O método para a parte (b) é usar a solução particular conhecida e fazer a mudança de variável
– (a) mostrar que
– (b) achar a solução geral.
O método para a parte (b) é usar a solução particular conhecida e fazer a mudança de variável
para reduzir a um equação linear em
.
Passo 2
Verificamos que
satisfaz a equação. De um lado,
De outro, substituindo
no lado direito:
Como ambas as parcelas dão
, concluímos que
logo
é de fato solução.
Passo 3
Para achar a solução geral, fazemos
Então
No lado direito da Riccati:
Igualando
e esse resultado, obtemos
ou seja
que é uma equação linear em
.
Passo 4
Resolvendo
usamos fator integrante
:
Voltando à variável
,
onde
é a constante arbitrária.
Resposta
(a)
.
(b) , com
constante de integração.
(b)