Calcule f^prime(1) se f(x)=ln (1+x)+cos pi x2.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular , onde a função é dada por . Aqui, vamos usar o conteúdo de derivadas, que nos ajuda a encontrar a taxa de variação da função em um ponto específico. Para isso, precisamos saber a regra de derivação para funções logarítmicas e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f^prime(x) = ddx ln(1+x) + ddx cos(pi x2) . A função é composta por duas partes: e . A derivada de uma soma é a soma das derivadas, então:
Agora, vamos derivar cada termo separadamente.

Passo 3

A derivada de ddx ln(1+x) = 11+x em relação a ddx cos(u) = -sin(u) cdot dudx é:
dudx = pi2
Já a derivada de ddx cos(pi x2) = -sin(pi x2) cdot pi2 usa a regra da cadeia. Primeiro derivamos o cosseno:
Onde , então:
Portanto,

Passo 4

Agora, juntando as derivadas dos dois termos, temos:
f^prime(x) = 11+x - pi2 sin(pi x2)

Passo 5

Finalmente, vamos calcular f^prime(1) = 11+1 - pi2 sin(pi cdot 12) substituindo f^prime(1) = 12 - pi2 sin(pi2) na expressão que encontramos:
f^prime(1) = 12 - pi2 cdot 1 = 12 - pi2 = 1 - pi2
Simplificando:
Sabemos que , então:

Resposta

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