Use o teorema da função inversa para calcular
se
.
Passo 1
Vamos resolver esse exercício usando o Teorema da Função Inversa. A questão nos pede para calcular
quando temos a relação
. Para isso, vamos precisar primeiro encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, e depois aplicar o teorema para obter
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Temos:
Para derivar essa expressão, vamos usar a Regra do Produto e a Regra da Cadeia.
- Regra do Produto: Se temos uma função
, então:
No nosso caso,
e
.
- Derivando
:
- Derivando
usando a Regra da Cadeia:
- Aplicando a Regra do Produto:
- Simplificando a expressão:
Passo 3
Agora, aplicamos o Teorema da Função Inversa, que nos diz que:
Substituindo a expressão que encontramos para
:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: