Use o teorema da função inversa para calcular d xd y se y=x raiz1-x^2.

Passo 1

Vamos resolver esse exercício usando o Teorema da Função Inversa. A questão nos pede para calcular dxdy quando temos a relação y = x raiz1 - x^2. Para isso, vamos precisar primeiro encontrar a derivada de y em relação a x, ou seja, dydx, e depois aplicar o teorema para obter dxdy.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular dydx. Temos:
y = x raiz1 - x^2
Para derivar essa expressão, vamos usar a Regra do Produto e a Regra da Cadeia.
  1. Regra do Produto: Se temos uma função y = u cdot v, então:
dydx = u' cdot v + u cdot v'
No nosso caso, u = x e v = raiz1 - x^2.
  1. Derivando u:
u = x Rightarrow u' = 1
  1. Derivando v usando a Regra da Cadeia:
v = (1 - x^2)^12 Rightarrow v' = 12(1 - x^2)^-12 cdot (-2x) = -xraiz1 - x^2
  1. Aplicando a Regra do Produto:
dydx = 1 cdot raiz1 - x^2 + x cdot (-xraiz1 - x^2) = raiz1 - x^2 - x^2raiz1 - x^2
  1. Simplificando a expressão:
dydx = (1 - x^2) - x^2raiz1 - x^2 = 1 - 2x^2raiz1 - x^2

Passo 3

Agora, aplicamos o Teorema da Função Inversa, que nos diz que:
dxdy = 1dydx
Substituindo a expressão que encontramos para dydx:
dxdy = 11 - 2x^2raiz1 - x^2 = raiz1 - x^21 - 2x^2

Resposta

A derivada de x em relação a y é:
dxdy = raiz1 - x^21 - 2x^2

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