Calcule f^prime(p) pela definição, sendo dados
f(x)=tan x ; p=0

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=tan x no ponto p=0 usando a definição
f'(p)=limxto pf(x)-f(p)x-p
Para resolver, vamos usar propriedades de limites e o limite trigonométrico
limxto 0sin xx=1.

Passo 2

Aplicando a definição em p=0, obtemos
f'(0)=limxto 0tan x-tan 0x-0=limxto 0tan xx

Passo 3

Usamos a identidade tan x=sin xcos x, logo
tan xx =sin xx,cos x =sin xxcdot1cos x
Sabendo que limxto 0sin xx=1 e limxto 0cos x=1, temos
limxto 0tan xx =1cdot 1 =1

Resposta

f'(0)=1

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