Exercício 19. (Apostol seção 14.27 exercícios 7) Calcule a esperança e a variância (se elas existirem) de uma variável aleatória X que possui
Uma distribuição exponencial com parâmetro lambda.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma variável aleatória X com distribuição exponencial de parâmetro lambda>0. O objetivo é calcular a esperança E[X] e a variância Var(X). Vamos usar a definição de esperança como integral imprópria e a fórmula
Var(X)=E[X^2] - l(E[X]r)^2

Passo 2

Para calcular a esperança, escrevemos
E[X] ;=;integral0^infty x,lambda e^-lambda x,dx
Fazendo integração por partes com u=x e dv=lambda e^-lambda xdx, temos du=dx e v=-e^-lambda x. Aplicando os limites, vem
E[X] ;=;l[-x,e^-lambda xr]0^infty ;+;integral0^infty e^-lambda x,dx ;=;0 ;+;l[-tfrac1lambdae^-lambda xr]0^infty ;=;tfrac1lambda

Passo 3

Para E[X^2], usamos
E[X^2] ;=;integral0^infty x^2,lambda e^-lambda x,dx
Novamente por partes com u=x^2 e dv=lambda e^-lambda xdx (logo du=2x,dx, v=-e^-lambda x), obtemos
E[X^2] ;=;2integral0^infty x,e^-lambda x,dx
Como
integral0^infty x,e^-lambda x,dx ;=;tfrac1lambda^2
concluímos
E[X^2] ;=;tfrac2lambda^2

Passo 4

Finalmente, a variância é
Var(X) ;=;E[X^2] ;-;l(E[X]r)^2 ;=;tfrac2lambda^2 ;-;tfrac1lambda^2 ;=;tfrac1lambda^2

Resposta

E[X] = tfrac1lambda, Var(X) = tfrac1lambda^2

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