Exercício 19. (Apostol seção 14.27 exercícios 7) Calcule a esperança e a variância (se elas existirem) de uma variável aleatória
que possui
Uma distribuição exponencial com parâmetro
.
Uma distribuição exponencial com parâmetro
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos uma variável aleatória
com distribuição exponencial de parâmetro
. O objetivo é calcular a esperança
e a variância
. Vamos usar a definição de esperança como integral imprópria e a fórmula
Passo 2
Para calcular a esperança, escrevemos
Fazendo integração por partes com
e
, temos
e
. Aplicando os limites, vem
Passo 3
Para
, usamos
Novamente por partes com
e
(logo
,
), obtemos
Como
concluímos
Passo 4
Finalmente, a variância é