Exercício 19. (Apostol seção 14.27 exercícios 7) Calcule a esperança e a variância (se elas existirem) de uma variável aleatória X que possui
Uma distribuição normal.

Passo 1

O enunciado pede a esperança e a variância de uma v.a. X com distribuição normal. Vamos supor a forma geral
Xsim N(mu,sigma^2),
isto é, X tem densidade
f(x)=1sigmaraiz2piexpl(-(x-mu)^22sigma^2r),
com muinR e sigma>0. Para calcular a esperança e a variância, usaremos as definições
E[X]=integral-infty^inftyx,f(x),dx, Var(X)=E[X^2]-l(E[X]r)^2,
verificando também convergência dos integrais.

Passo 2

Cálculo de E[X]. Escrevemos
E[X] =integral-infty^inftyx,1sigmaraiz2pi expl(-(x-mu)^22sigma^2r),dx
Fazendo a mudança de variável y=x-mu, temos x=mu+y e dy=dx, e o intervalo continua simétrico (-infty,infty). Logo
E[X] =integral-infty^infty(mu+y),1sigmaraiz2pi expl(-y^22sigma^2r),dy
Separamos em dois termos:
integral-infty^inftymu;1sigmaraiz2pi e^-y^22sigma^2dy + integral-infty^inftyy;1sigmaraiz2pi e^-y^22sigma^2dy
O primeiro é mu vezes a integral da densidade normal (que vale 1) e o segundo é zero por ser integrando ímpar num intervalo simétrico. Portanto
E[X]=mu

Passo 3

Cálculo de E[X^2]. Partimos de
E[X^2] =integral-infty^inftyx^2,f(x),dx =integral-infty^infty(mu+y)^2 1sigmaraiz2pie^-y^22sigma^2,dy
Expandindo (mu+y)^2=mu^2+2mu y+y^2, obtemos três integrais:
mu^2integral f +2muintegral y,f +integral y^2,f
Os dois primeiros já vimos que valem mu^2 e 0, respectivamente. Fica
E[X^2]=mu^2 +integral-infty^inftyy^2;1sigmaraiz2pi e^-y^22sigma^2,dy
O último integral é bem-conhecido e vale sigma^2 (é a variância da normal N(0,sigma^2)). Logo
E[X^2]=mu^2+sigma^2

Passo 4

Cálculo de Var(X). Usando Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2, temos
Var(X) =(mu^2+sigma^2)-mu^2 =sigma^2
As duas integrais convergem absolutamente, logo esperança e variância existem.

Resposta

E[X]=mu
Var(X)=sigma^2

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