Exercício 19. (Apostol seção 14.27 exercícios 7) Calcule a esperança e a variância (se elas existirem) de uma variável aleatória
que possui
Uma distribuição normal.
Uma distribuição normal.
Passo 1
O enunciado pede a esperança e a variância de uma v.a.
com distribuição normal. Vamos supor a forma geral
isto é,
tem densidade
com
e
. Para calcular a esperança e a variância, usaremos as definições
verificando também convergência dos integrais.
Passo 2
Cálculo de
. Escrevemos
Fazendo a mudança de variável
, temos
e
, e o intervalo continua simétrico
. Logo
Separamos em dois termos:
O primeiro é
vezes a integral da densidade normal (que vale 1) e o segundo é zero por ser integrando ímpar num intervalo simétrico. Portanto
Passo 3
Cálculo de
. Partimos de
Expandindo
, obtemos três integrais:
Os dois primeiros já vimos que valem
e
, respectivamente. Fica
O último integral é bem-conhecido e vale
(é a variância da normal
). Logo
Passo 4
Cálculo de
. Usando
, temos
As duas integrais convergem absolutamente, logo esperança e variância existem.