1-2 Seja triang<= A B C um triângulo escaleno tal que a altura relativa ao lado B C, hB C, tenha comprimento igual à metade do comprimento de B C. Mostre que o ângulo interno widehatA é agudo. O que ocorre se triang<= A B C é isósceles, com A B e A C sendo seus lados iguais?

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC (escaleno) em que a altura relativa a BC (que tem comprimento a) satisfaz
hBC=a2
Queremos mostrar que o ângulo em A é agudo. Em seguida, vamos ver o que acontece se o triângulo for isósceles com AB=AC.

Passo 2

Denotemos
BC=a, CA=b, AB=c,
e chame H o pé da altura de A em BC. A área do triângulo é
12bcsin A
e também
12a,hBC=12acdota2=a^24
Igualando as áreas:
12bcsin A=a^24 Longrightarrow sin A=a^22bc

Passo 3

Agora use as projeções de A sobre BC. Escreva BH=d e HC=a-d. Nos triângulos retângulos ABH e ACH vale
b^2=d^2+l(a2r)^2, c^2=(a-d)^2+l(a2r)^2
Defina t=d/a, com 0<t<1. Então
b^2=a^2l(t^2+tfrac14r), c^2=a^2l((1-t)^2+tfrac14r)

Passo 4

Para decidir se A é agudo basta ver o sinal de cos A. Como A=180^circ-(B+C),
cos A=-cos(B+C)=sin Bsin C-cos Bcos C
Mas
sin B=a2c=raiza^24c^2, sin C=a2b=raiza^24b^2,
cos B=raiz1-a^24c^2, cos C=raiz1-a^24b^2
Com isso obtém-se, após alguns cálculos, que
cos A>0 ;Long<=ftrightarrow; t(1-t)<14
Mas a função tmapsto t(1-t) em (0,1) atinge máximo exatamente em t=tfrac12 com valor tfrac14. Portanto, se dneq a/2 (isto é, tneqtfrac12), temos estritamente
t(1-t)<14 Longrightarrow cos A>0 Longrightarrow A<90^circ
Num triângulo escaleno bneq c implica dneq a/2, logo cos A>0 e A é agudo.

Passo 5

Se o triângulo for isósceles com AB=AC, então b=c força simetria em torno da altura, e o pé H fica exatamente no ponto médio de BC, ou seja d=a/2. Nesse caso t=tfrac12
t(1-t)=14 ;Longrightarrow; cos A=0 ;Longrightarrow; A=90^circ

Resposta

No caso escaleno, widehat A é agudo.
Se AB=AC, então widehat A é reto.

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