1-2 Seja
um triângulo escaleno tal que a altura relativa ao lado
, tenha comprimento igual à metade do comprimento de
. Mostre que o ângulo interno
é agudo. O que ocorre se
é isósceles, com
e
sendo seus lados iguais?
Passo 1
O enunciado dá um triângulo
(escaleno) em que a altura relativa a
(que tem comprimento
) satisfaz
Queremos mostrar que o ângulo em
é agudo. Em seguida, vamos ver o que acontece se o triângulo for isósceles com
.
Passo 2
Denotemos
e chame
o pé da altura de
em
. A área do triângulo é
e também
Igualando as áreas:
Passo 3
Agora use as projeções de
sobre
. Escreva
e
. Nos triângulos retângulos
e
vale
Defina
, com
. Então
Passo 4
Para decidir se
é agudo basta ver o sinal de
. Como
,
Mas
Com isso obtém-se, após alguns cálculos, que
Mas a função
em
atinge máximo exatamente em
com valor
. Portanto, se
(isto é,
), temos estritamente
Num triângulo escaleno
implica
, logo
e
é agudo.
Passo 5
Se o triângulo for isósceles com
, então
força simetria em torno da altura, e o pé
fica exatamente no ponto médio de
, ou seja
. Nesse caso
dá
Resposta
No caso escaleno,
é agudo.
Se , então
é reto.
Se