Calcule f^prime(p) :
f(x)=e^xx^2+1,

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x) = e^xx^2+1
no ponto genérico x=p. O conteúdo envolve a regra do quociente de funções.

Passo 2

Identificamos no quociente
u(x) = e^x, v(x) = x^2+1
Para usar a regra do quociente, precisamos de
u'(x) = e^x, v'(x) = 2x

Passo 3

Pela regra do quociente,
f'(x) = u'(x),v(x) - u(x),v'(x)l(v(x)r)^2 = e^x(x^2+1) - e^xcdot 2x(x^2+1)^2

Passo 4

Fatorando e^x e reorganizando, obtemos
f'(x) = e^xl(x^2+1 - 2xr)(x^2+1)^2 = e^xl(x^2 - 2x + 1r)(x^2+1)^2 = e^x(x-1)^2(x^2+1)^2

Passo 5

Finalmente, substituímos x=p para obter f'(p):
f'(p) = e^p(p-1)^2(p^2+1)^2

Resposta

f'(p) = e^p(p-1)^2(p^2+1)^2

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