Calcule f^prime(p) :
f(x)=e^x sen(x) cos (x),

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f no ponto p, sendo
f(x)=e^xsin(x)cos(x)
Para isso vamos usar a regra do produto e a derivação de funções trigonométricas, além de uma identidade que simplifica o resultado.

Passo 2

Escrevendo f(x) como produto de duas funções,
f(x)=e^xcdotl(sin xcos xr),
a regra do produto dá
f'(x)=(e^x)',l(sin xcos xr)+e^x,l(sin xcos xr)'

Passo 3

Temos (e^x)'=e^x. Agora derivamos sin xcos x também por regra do produto:
(sin xcos x)'=(sin x)'cos x+sin x,( cos x)' =cos xcos x-sin xsin x =cos^2x-sin^2x =cos(2x)

Passo 4

Substituindo em f'(x):
f'(x)=e^xsin xcos x + e^xcos(2x) = e^xl(sin xcos x + cos(2x)r)

Passo 5

Avalia-se em x=p:
f'(p)=e^pl(sin pcos p + cos(2p)r)

Passo 6

Usando sin pcos p=tfrac12sin(2p), fica
f'(p)=e^pl(tfrac12sin(2p)+cos(2p)r)

Resposta

f'(p)=e^pl(sin pcos p + cos(2p)r)
ou alternativamente
f'(p)=e^pl(tfrac12sin(2p)+cos(2p)r)

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