Exercício 3. (Apostol, capítulo 5.5, exercício 9) Seja V um espaço vetorial complexo com produto interno e dimensão finita. Seja T: V V uma transformação linear e Q: V C definida como
Q(v)=lang<= T v, vrang<=
a) Se T é autoadjunta, mostre que a imagem de Q é sempre real.
b) Se T^*=-T, mostre que a imagem de Q é sempre imaginária pura.
c) Mostre que Q(lambda v)=|lambda|^2 Q(v), para todo lambda in C.
d) Prove que Q(u+v)=Q(u)+Q(v)+lang<= T u, vrang<=+lang<= T v, urang<=. Ache uma fórmula para Q(u+lambda v), em que lambda in C.
e) Prove que se Q(u)=0 para todo u, então T=0.
f) Prove que se a imagem de Q é sempre real, então T é autoadjunta.

Passo 1

O enunciado define em um espaço vetorial complexo V com produto interno lang<=cdot,cdotrang<= e dimensão finita uma forma quadrática
Q(v)=lang<= T v, vrang<=,
onde T:Vto V é linear. Vamos usar as propriedades de adjunção do operador T e a sesquilinearidade do produto interno para demonstrar cada item:
a) se T=T^*, então Q(v)inR;
b) se T^*=-T, então Q(v) é imaginário puro;
c) homogeneidade de Q;
d) expansão de Q(u+v) e fórmula geral de Q(u+lambda v);
e) se Qequiv0 então T=0;
f) se Im,QsubsetR então T=T^*.

Passo 2

(a) Se T=T^*, então para todo vin V vale
Q(v)=lang<= T v,vrang<=
Pela simetria conjugada do produto interno temos
lang<= T v,vrang<==lang<= v,T vrang<= =lang<= T^* v,vrang<= =lang<= T v,vrang<=
Logo lang<= T v,vrang<= é igual ao seu conjugado e, portanto, é real.

Passo 3

(b) Se T^*=-T, então
lang<= T v,vrang<= =lang<= v,T vrang<= =lang<= T^*v,vrang<= =lang<= -T v,vrang<= =-lang<= T v,vrang<=
Da igualdade z=-overline z segue Re(z)=0, isto é, z é imaginário puro. Logo Q(v) é imaginário puro.

Passo 4

(c) Para lambdainC e vin V, pela linearidade de T e sesquilinearidade do produto interno,
Q(lambda v) =lang<= T(lambda v),lambda vrang<= =lang<= lambda,T v,lambda vrang<= =lambda,lambda,lang<= T v,vrang<= =|lambda|^2,Q(v)

Passo 5

(d) Para u,vin V temos
Q(u+v) =lang<= T(u+v),u+vrang<= =lang<= T u,urang<= +lang<= T u,vrang<= +lang<= T v,urang<= +lang<= T v,vrang<=,
isto é,
Q(u+v)=Q(u)+Q(v)+lang<= T u,vrang<=+lang<= T v,urang<=
Em particular, para lambdainC, usando (c) e a mesma expansão, obtemos
Q(u+lambda v) =Q(u)+|lambda|^2,Q(v) +lambda,lang<= T v,urang<= +lambda,lang<= T u,vrang<=

Passo 6

(e) Se Qequiv0, então para todo u,v vale
Q(u+v)-Q(u-v) =2l(lang<= T u,vrang<=+lang<= T v,urang<=r)=0
e
Q(u+iv)-Q(u-iv) =2il(lang<= T v,urang<=-lang<= T u,vrang<=r)=0
Isso implica Relang<= T u,vrang<==0 e Imlang<= T u,vrang<==0, logo lang<= T u,vrang<==0 para todos u,v. Em espaço com produto interno, isso força T=0.

Passo 7

(f) Finalmente, se Q(v)=lang<= T v,vrang<= é sempre real, então a forma sesquilinear B(u,v)=lang<= T u,vrang<= satisfaz a identidade de polarização
B(u,v) =14l(Q(u+v)-Q(u-v)+i,Q(u+iv)-i,Q(u-iv)r)
Como cada Q(cdot)inR, o lado direito é igual ao seu conjugado, de onde
lang<= T u,vrang<= =lang<= T v,urang<= forall,u,v
Essa é exatamente a condição de T ser autoadjunta, ou seja, T=T^*.

Resposta

a) Se T=T^*, então Im,QsubsetR.
b) Se T^*=-T, então Im,Qsubset iR.
c) Q(lambda v)=|lambda|^2Q(v).
d)
Q(u+v)=Q(u)+Q(v)+lang<= T u,vrang<=+lang<= T v,urang<=,
Q(u+lambda v)=Q(u)+|lambda|^2Q(v) +lambda,lang<= T v,urang<= +lambda,lang<= T u,vrang<=
e) Se Qequiv0 então T=0.
f) Se Im,QsubsetR então T=T^*.

Exercícios relacionados