Exercício 3. (Apostol, capítulo 5.5, exercício 9) Seja um espaço vetorial complexo com produto interno e dimensão finita. Seja uma transformação linear e definida como
a) Se é autoadjunta, mostre que a imagem de é sempre real.
b) Se , mostre que a imagem de é sempre imaginária pura.
c) Mostre que , para todo .
d) Prove que . Ache uma fórmula para , em que .
e) Prove que se para todo , então .
f) Prove que se a imagem de é sempre real, então é autoadjunta.
Passo 1
O enunciado define em um espaço vetorial complexo com produto interno e dimensão finita uma forma quadrática
onde é linear. Vamos usar as propriedades de adjunção do operador e a sesquilinearidade do produto interno para demonstrar cada item:
a) se , então ;
b) se , então é imaginário puro;
c) homogeneidade de ;
d) expansão de e fórmula geral de ;
e) se então ;
f) se então .
Passo 2
(a) Se , então para todo vale
Pela simetria conjugada do produto interno temos
Logo lang<= T v,vrang<= é igual ao seu conjugado e, portanto, é real.
Passo 3
(b) Se T^*=-T, então
lang<= T v,vrang<= =lang<= v,T vrang<= =lang<= T^*v,vrang<= =lang<= -T v,vrang<= =-lang<= T v,vrang<=
Da igualdade z=-overline z segue Re(z)=0, isto é, z é imaginário puro. Logo Q(v) é imaginário puro.
Passo 4
(c) Para lambdainC e vin V, pela linearidade de T e sesquilinearidade do produto interno,