Exercício 4. (Apostol, capítulo 5.11, exercício 2)
a) Verifique que a matriz é ortogonal.
b) Seja a transformação linear que corresponde à matriz . Mostre que leva um ponto com coordenadas polares no ponto com coordenadas polares .
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede duas coisas: Mostrar que é ortogonal, ou seja, que suas colunas formam um sistema ortonormal em . Ver que a transformação linear associada a leva um ponto de coordenadas polares em .
Conteúdo: definição de matriz ortogonal () e rotação em coordenadas polares.]
Passo 2
Definição de matriz ortogonal: é ortogonal se e somente se
ou seja, o produto da transposta de por deve resultar na matriz identidade de ordem .
Passo 3
Calculemos . Como , temos
Agora o produto :
Multiplicando linha por coluna, obtemos os elementos:
– Entrada (1,1): cos^2(theta)+sen^2(theta)=1.
– Entrada (1,2): -cos(theta)sen(theta)+sen(theta)cos(theta)=0.
– Entrada (2,1): -sen(theta)cos(theta)+cos(theta)sen(theta)=0.
– Entrada (2,2): sen^2(theta)+cos^2(theta)=1.
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A^T A = 1&00&1 = I2,
portanto A é ortogonal.]
Passo 4
Para ver o efeito de T em coordenadas polares, note que um ponto com coordenadas (r,alpha) em R^2 tem vetor posição