Exercício 4. (Apostol, capítulo 5.11, exercício 2)
a) Verifique que a matriz A=(cccos (theta) & -sen(theta) sen(theta) & cos (theta)) é ortogonal.
b) Seja T: R^2 R^2 a transformação linear que corresponde à matriz A. Mostre que T leva um ponto com coordenadas polares (r, alpha) no ponto com coordenadas polares (r, alpha+theta).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = cos(theta) & -sen(theta)[6pt] sen(theta) & cos(theta)
e pede duas coisas:
1 Mostrar que A é ortogonal, ou seja, que suas colunas formam um sistema ortonormal em R^2.
2 Ver que a transformação linear T associada a A leva um ponto de coordenadas polares (r,alpha) em (r,alpha+theta).
Conteúdo: definição de matriz ortogonal ( A^TA=I) e rotação em coordenadas polares.]

Passo 2

Definição de matriz ortogonal: A é ortogonal se e somente se
A^T A = I2,
ou seja, o produto da transposta de A por A deve resultar na matriz identidade de ordem 2.

Passo 3

Calculemos A^T. Como A=l(aijr), temos
A^T = cos(theta) & sen(theta)[4pt] -sen(theta) & cos(theta)
Agora o produto A^T A:
A^T A = cos(theta) & sen(theta) -sen(theta) & cos(theta) cos(theta) & -sen(theta) sen(theta) & cos(theta)
Multiplicando linha por coluna, obtemos os elementos:
– Entrada (1,1): cos^2(theta)+sen^2(theta)=1.
– Entrada (1,2): -cos(theta)sen(theta)+sen(theta)cos(theta)=0.
– Entrada (2,1): -sen(theta)cos(theta)+cos(theta)sen(theta)=0.
– Entrada (2,2): sen^2(theta)+cos^2(theta)=1.
Logo
A^T A = 1&00&1 = I2,
portanto A é ortogonal.]

Passo 4

Para ver o efeito de T em coordenadas polares, note que um ponto com coordenadas (r,alpha) em R^2 tem vetor posição
v = rcos(alpha)[4pt] rsen(alpha)
Aplicar T equivale a multiplicar por A:
T(v) ;=; A,v = cos(theta) & -sen(theta) sen(theta) & cos(theta) rcos(alpha)[4pt] rsen(alpha) ]

Passo 5

Calculemos as componentes de T(v):
x' &= rl(cos(theta)cos(alpha) - sen(theta)sen(alpha)r) = rcos(alpha+theta),[4pt] y' &= rl(sen(theta)cos(alpha) + cos(theta)sen(alpha)r) = rsen(alpha+theta),
onde usamos as fórmulas de adição de ângulo para cosseno e seno.]

Passo 6

Assim
T(v) = rcos(alpha+theta)[4pt] rsen(alpha+theta) ,
o que mostra que o raio r permanece o mesmo e o ângulo alpha passa a ser alpha+theta. Ou seja, T gira o ponto em theta no sentido anti-horário.]

Resposta

a) A é ortogonal porque A^TA=I2.
b) T leva (r,alpha) em (r,alpha+theta), isto é, é a rotação de ângulo theta.

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