Exercício 8. (Apostol, capítulo 5.15, exercício 1 a 7) Para cada uma das fomas quadráticas abaixo, ache uma matriz autoadjunta associada, os autovalores da matriz, uma base ortonormal de autovetores e uma matriz unitária que a diagonaliza.
Passo 1
O enunciado pede para a forma quadrática
encontrar (i) a matriz autoadjunta que a representa via , (ii) seus autovalores, (iii) uma base ortonormal de autovetores e (iv) uma matriz unitária que diagonaliza .
cuja fatoração dá lambda(lambda-5)=0. Assim os autovalores são
lambda1=5, lambda2=0
Passo 4
Para resolvemos :
escolhendo . Para resolvemos :
escolhendo . Normalizando ao comprimento obtemos
que formam uma base ortonormal.
Passo 5
Colocando essas colunas em
U= 2/raiz5 & -1/raiz5 1/raiz5 & 2/raiz5 ,
vemos que U é unitária (real orthogonal) e diagonaliza A, pois
U^T,A,U =5&00&0
Resposta
A matriz autoadjunta é
A=4&22&1
Os autovalores são lambda1=5 e lambda2=0.
Uma base ortonormal de autovetores é (2/raiz5,1/raiz5),,(-1/raiz5,2/raiz5)
Uma matriz unitária que diagonaliza A é