Exercício 8. (Apostol, capítulo 5.15, exercício 1 a 7) Para cada uma das fomas quadráticas abaixo, ache uma matriz autoadjunta associada, os autovalores da matriz, uma base ortonormal de autovetores e uma matriz unitária que a diagonaliza.
4 x1^2+4 x1 x2+x2^2

Passo 1

O enunciado pede para a forma quadrática
Q(x1,x2)=4x1^2+4x1x2+x2^2
encontrar (i) a matriz autoadjunta A que a representa via Q(x)=x^T A x, (ii) seus autovalores, (iii) uma base ortonormal de autovetores e (iv) uma matriz unitária que diagonaliza A.

Passo 2

Para comparar com Q(x)=x^T A x escrevemos
A= a11&a12 a21&a22 ,
onde a11=4, a22=1 e a12=a21=tfrac42=2. Logo
A= 4&2 2&1

Passo 3

O polinômio característico é
det(A-lambda I) =(4-lambda)(1-lambda)-2cdot2 =lambda^2-5lambda,
cuja fatoração dá lambda(lambda-5)=0. Assim os autovalores são
lambda1=5, lambda2=0

Passo 4

Para resolvemos :
escolhendo . Para resolvemos :
escolhendo . Normalizando ao comprimento obtemos
que formam uma base ortonormal.

Passo 5

Colocando essas colunas em
U= 2/raiz5 & -1/raiz5 1/raiz5 & 2/raiz5 ,
vemos que U é unitária (real orthogonal) e diagonaliza A, pois
U^T,A,U =5&00&0

Resposta

A matriz autoadjunta é
A=4&22&1
Os autovalores são lambda1=5 e lambda2=0.
Uma base ortonormal de autovetores é
(2/raiz5,1/raiz5),,(-1/raiz5,2/raiz5)
Uma matriz unitária que diagonaliza A é
U= 2/raiz5 & -1/raiz5 1/raiz5 & 2/raiz5 ,
com U^T A U=diag(5,0).

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