Calcule f^prime(pi^216), onde f(x)=raizsec raizx.

Passo 1

O enunciado pede calcular f'l(tfracpi^216r) para a função
f(x)=raizsecraizx
O conteúdo principal é derivação por regra da cadeia em composições de funções (radiciação, secante e raiz quadrada).

Passo 2

Vamos usar a regra da cadeia em três níveis de composição:
k(x)=raizx, h(u)=sec u, g(v)=raizv,
de modo que f(x) = gl(h(k(x))r). Então
g'(v)=12raizv, h'(u)=sec utan u, k'(x)=12raizx
Pela regra da cadeia,
f'(x) = g'l(h(k(x))r);h'l(k(x)r);k'(x) = 12raizsecraizx,l(secraizx,tanraizxr),12raizx
Agora simplificamos:
secraizxraizsecraizx =raizsecraizx,
logo
f'(x) = raizsecraizx;tanraizx4raizx

Passo 3

Avaliamo em x=tfracpi^216. Temos
raizx=pi4, tan!l(pi4r)=1, sec!l(pi4r)=raiz2,
raizsecraizx =raizraiz2 =2^1/4, raizx=pi4
Substituindo em
f'(x)=raizsecraizx;tanraizx4raizx,
obtemos
f'l(tfracpi^216r) = 2^1/4cdot14cdot(pi/4) = 2^1/4pi

Resposta

f'l(tfracpi^216r)=2^1/4pi

Exercícios relacionados