O conteúdo aqui é continuidade de função em R. Para resolver, vamos primeiro ver a continuidade em cada ramo (intervalo aberto) e depois checar os pontos de fronteira x=-1 e x=0.]
Passo 2
Em cada ramo aberto temos composições de funções contínuas na própria região:
– Para x>0, ln(x+1) é contínua porque x+1>1.
– Para -1<x<0, ln(1-x^2) é contínua pois 1-x^2>0.
– Para x<-1, tfrac11+x^2 é contínua em todo R.
Logo f é contínua em (-infty,-1), em (-1,0) e em (0,infty).
Passo 3
Checamos x=-1.
– Valor da função:
f(-1)=11+(-1)^2=12
– Limite pela esquerda (xto-1^-) usa tfrac11+x^2:
limxto-1^-f(x)=11+(-1)^2=12
– Limite pela direita (xto-1^+) usa ln(1-x^2):
limxto-1^+ln(1-x^2)=ln(1-1)=ln(0)=-infty
Como os limites laterais não coincidem (um é finito e o outro -infty), f é descontínua em x=-1.
Passo 4
Checamos x=0.
– Valor da função:
f(0)=ln(0+1)=ln1=0
– Limite pela direita (xto0^+) usa ln(x+1):
limxto0^+ln(x+1)=ln1=0
– Limite pela esquerda (xto0^-) usa ln(1-x^2):
limxto0^-ln(1-x^2)=ln1=0
Como limites laterais e valor em 0 coincidem, f é contínua em x=0.