Determine:
lim x 0(2 x+1)^1 / sen x+x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0(2x+1)^1sin x + x^2
Este é um caso de forma indeterminada do tipo 1^infty. Vamos usar a estratégia de tomar o logaritmo, expandir em série de Taylor para ln(1+2x) e sin x, e depois voltar ao exponencial.

Passo 2

Defina
L = limxto0(2x+1)^1sin x + x^2
Então
ln L = limxto0 ln(1+2x)sin x + x^2

Passo 3

Para x pequeno temos as expansões de Taylor até ordem x^2:
ln(1+2x) = 2x - 2x^2 + O(x^3),
sin x = x - x^36 + O(x^5),
portanto
sin x + x^2 = x + x^2 + O(x^3)

Passo 4

Substituindo nas frações,
ln(1+2x)sin x + x^2 = 2x - 2x^2 + O(x^3)x + x^2 + O(x^3) = xl(2 - 2x + O(x^2)r)xl(1 + x + O(x^2)r) = 2 - 2x + O(x^2)1 + x + O(x^2)
Quando xto0, isso tende a 2. Logo
ln L = 2

Passo 5

Voltando ao valor de L, temos
L = e^ln L = e^2

Resposta

e^2

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