Exercício 1. (Apostol, capítulo 8.3, exercícios 6) Seja S o subconjunto de R^2 descrito abaixo. Use um argumento geométrico para determinar se eles são abertos e/ou fechados ou não são nem abertos nem fechados.
1<x^2+y^2<2.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
S = l(x,y)inR^2 mid 1 < x^2 + y^2 < 2r
e pede para determinar se S é aberto, fechado, ambos ou nenhum. O conteúdo é topologia em R^2: vamos usar interpretação geométrica (anel circular) e o fato de que a função
fcolonR^2toR, f(x,y)=x^2+y^2
é contínua, de modo que pré-imagens de intervalos abertos são abertos.

Passo 2

Geometricamente, S é o anel (ou coroa) entre o círculo de raio 1 e o círculo de raio raiz2, sem incluir nenhum dos dois. As fronteiras de S são exatamente os pontos com x^2+y^2=1 e os com x^2+y^2=2.

Passo 3

Como f é contínua e (1,2) é aberto em R, a pré-imagem
S = f^-1l((1,2)r)
é um conjunto aberto em R^2. Alternativamente, pode-se notar que
(x,y)mid x^2+y^2>1 e (x,y)mid x^2+y^2<2
são abertos (pré-imagens de (1,infty) e (-infty,2)), e S é a interseção deles.

Passo 4

Para ver que S não é fechado, basta notar que os pontos com x^2+y^2=1 ou x^2+y^2=2 são pontos de aderência de S (por exemplo, l(1+tfrac1n,0r)to(1,0)), mas não pertencem a S (as desigualdades são estritas). Logo, S não contém todos os seus pontos de aderência.

Resposta

S é aberto e não é fechado.

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