Exercício 1. (Apostol, capítulo 8.3, exercícios 6) Seja
o subconjunto de
descrito abaixo. Use um argumento geométrico para determinar se eles são abertos e/ou fechados ou não são nem abertos nem fechados.
.
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
e pede para determinar se
é aberto, fechado, ambos ou nenhum. O conteúdo é topologia em
: vamos usar interpretação geométrica (anel circular) e o fato de que a função
é contínua, de modo que pré-imagens de intervalos abertos são abertos.
Passo 2
Geometricamente,
é o anel (ou coroa) entre o círculo de raio
e o círculo de raio
, sem incluir nenhum dos dois. As fronteiras de
são exatamente os pontos com
e os com
.
Passo 3
Como
é contínua e
é aberto em
, a pré-imagem
é um conjunto aberto em
. Alternativamente, pode-se notar que
são abertos (pré-imagens de
e
), e
é a interseção deles.
Passo 4
Para ver que
não é fechado, basta notar que os pontos com
ou
são pontos de aderência de
(por exemplo,
), mas não pertencem a
(as desigualdades são estritas). Logo,
não contém todos os seus pontos de aderência.