Calcule f^{\prime}(2) sendo f a função dada por:
f(x)=x^{3} \cdot e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular f'(2) da função
f(x) = x^{3} \cdot e^{x}.
O conteúdo envolvido é derivação de produto de funções, para o qual usaremos a regra do produto.

Passo 2

Sejam u(x)=x^{3} e v(x)=e^{x}. Pela regra do produto,
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).

Passo 3

Calculamos u'(x) e v'(x):
u'(x) = 3x^{2}, \quad v'(x) = e^{x}.
Substituindo na regra do produto:
f'(x) = 3x^{2} \cdot e^{x} + x^{3} \cdot e^{x} = e^{x}\,(3x^{2} + x^{3}) = x^{2}e^{x}\,(3 + x).

Passo 4

Para x=2:
f'(2) = 2^{2}e^{2}\,(3 + 2) = 4e^{2} \cdot 5 = 20e^{2}.

Resposta

f'(2) = 20e^{2}.

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