Calcule f^{\prime}(x) das alternativas abaixo:
f(x)=\frac{x^{2}}{\sin (x) \cos (x)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{x^{2}}{\sin(x)\cos(x)}.
O conteúdo é derivada de quociente: se f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.

Passo 2

Escolhemos
u(x)=x^{2},\qquad v(x)=\sin(x)\cos(x).
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u'(x)=2x.

Passo 3

Para v'(x) usamos a regra do produto:
v'(x)=\frac{d}{dx}[\sin(x)]\cdot\cos(x)+\sin(x)\cdot\frac{d}{dx}[\cos(x)] =\cos^{2}(x)-\sin^{2}(x)=\cos(2x).

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{2x\sin(x)\cos(x)-x^{2}\cos(2x)}{\bigl[\sin(x)\cos(x)\bigr]^{2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{2x\sin(x)\cos(x)-x^{2}\cos(2x)}{\sin^{2}(x)\,\cos^{2}(x)}.

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